100 bài tập về nhị thức Niu-tơn (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Nhị thức Niu-tơn và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu tơn (a + b)n có các tính chất sau

- Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k=C_n^{n-k}$

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

- Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Ví dụ:

Số hạng thứ nhất $T_1=T_{0+1}=C_n^0{a}^n$, số hạng thứ k: $T_k=T_{(k-1)+1}=C_n^{k-1}{a}^{n-k+1}{b}^{k-1}$

c) Hệ quả:

Ta có: ${(1+x)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+\mathrm{...}+x^n{C}_n^n$

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

$\begin{array}{l}{C}_n^0+C_n^1+\mathrm{...}+C_n^n=2^n\\ C_n^0-C_n^1+C_n^2-\mathrm{...}+{(-1)}^n{C}_n^n=0\end{array}$

2. Các dạng bài tập

2.1 Dạng 1. Tìm số hàng chứa xm trong khai triển

Phương pháp giải:

* Với khai triển (axp + bxq)n (p, q là các hằng số)

Ta có: ${\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n (p, q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(b{x}^p\right)}^{k-j}{\left(c{x}^q\right)}^j$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x(1 – 2x)5 + (1 + 5x)10.

Lời giải

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là: $C_5^4{\left(-2\right)}^4+C_{10}^5{5}^5=787580$.

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ${\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^n$, biết rằng $C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=78$ với x > 0.

Lời giải

Ta có: $C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=78$ (Điều kiện: $n\ge 2;n\in \mathbb{N}$)

$\begin{array}{l}\iff \frac{n!}{\left(n-1\right)!.1!}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}=78\\ \iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=78\\ \iff 2n+n^2-n=156\\ \iff n^2+n-156=0\\ \iff \left(n-12\right)\left(n+13\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}n=12\\ n=-13\left(Loại\right)\end{array}\right.\end{array}$

Do đó ta được khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(x^3\right)}^{12-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^{36-3k}{x}^{-k}\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^{36-4k}\end{array}$

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên $36-4k=0\iff k=9$.

Vậy hệ số không chứa x của khai triển là: $C_{12}^9{\left(-2\right)}^9=-112640$.

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x15 trong khai triển (1 – x + 2x2)10.

Lời giải

Ta có khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(1–x+2x^2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{\left(-x+2x^2\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(-x\right)}^{k-j}{\left(2x^2\right)}^j\\ =\sum _{k=0}^{10}\sum _{j=0}^k{C}_{10}^k{C}_k^j{\left(-1\right)}^{k-j}{.2}^j.x^{k+j}\end{array}$

Cần hệ số của x15 trong khai triển nên $\left\{\begin{array}{l}k+j=15\\ 0\le j\le k\le 10\\ j,k\in \mathbb{N}\end{array}\right.$

Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là $C_{10}^8{C}_8^7{\left(-1\right)}^{8-7}{.2}^7=-46080$

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là $C_{10}^9{C}_9^6{\left(-1\right)}^{9-6}{.2}^6=-53760$

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là $C_{10}^{10}{C}_{10}^5{\left(-1\right)}^{10-5}{.2}^5=-8064$

Vậy hệ số của x15 trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = –107904.

2.2 Dạng 2. Bài toán tính tổng

Phương pháp giải:

Dựa vào khai triển nhị thức Niu tơn

${(a+b)}^n$$=C_n^0{a}^n+a^{n-1}b{C}_n^1+a^{n-2}{b}^2{C}_n^2+\mathrm{...}+b^n{C}_n^n$.

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

$\begin{array}{l}{C}_n^k=C_n^{n-k}\\ C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\\ C_n^0+C_n^1+\mathrm{...}+C_n^n=2^n\\ C_n^0-C_n^1+C_n^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n=0\\ {\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

Lời giải

Ví dụ 2: Tìm số n thỏa mãn:

a) $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{...}+2^n{C}_n^n=243$

b) $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}=4096$

Lời giải

Ví dụ 3. Cho khai triển (1 – 2x)20 = a0 +a1x + a2x2 + … + a20x20. Giá trị của a0 + a1 + a2 + … + a20 bằng:

A. 1

B. 320

C. 0

D. – 1

Lời giải

Chọn A

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x – 3)2020

A. 2021.

B. 2019.

C. 2018.

D. 2020.

Câu 2. Hệ số x6 trong khai triển (1 – 2x)10 thành đa thức là:

A. – 13440.

B. – 210.

C. 210.

D. 13440.

Câu 3. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{12}$ ($x\ne 0$) là

A. $2^4.C_{12}^5$.

B. $C_{12}^8$.

C. $2^4.C_{12}^4$.

D. $2^8.C_{12}^8$.

Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^{21}$$\left(x\ne 0,n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

A. $2^7{C}_{21}^7$.

B. $2^8{C}_{21}^8$.

C. $-2^8{C}_{21}^8$.

D. $-2^7{C}_{21}^7$.

Câu 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển x3(1 – x)8

A. – 28.

B. 70.

C. – 56.

D. 56.

Câu 6. Trong khai triển biểu thức (x + y)21 , hệ số của số hạng chứa x13y8 là:

A. 116280.

B. 293930.

C. 203490.

D. 1287.

Câu 7. Hệ số của x6 trong khai triển ${\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{10}$ bằng:

A. 792.

B. 210.

C. 165.

D. 252.

Câu 8. Trong khai triển ${\left(x+\frac{2}{\sqrt[]{x}}\right)}^6$, hệ số của x3, (x > 0) là:

A. 60.

B. 80.

C. 160.

D. 240.

Câu 9. Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = (x + 1)6 + (x + 1)7 + ... + (x + 1)12

A. 1715.

B. 1711.

C. 1287.

D. 1716.

Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$ biết $A_n^2-C_n^2=105$

A. – 3003.

B. – 5005.

C. 5005.

D. 3003.

Câu 11. Tính tổng $S=C_{10}^0+2.C_{10}^1+2^2.C_{10}^2+\mathrm{...}+2^{10}.C_{10}^{10}.$

A. S = 210.

B. S = 410.

C. S = 310.

D. S = 311.

Câu 12. Tổng $C_{2016}^1+C_{2016}^2+C_{2016}^3+\mathrm{...}+C_{2021}^{2021}$ bằng

A. 42021.

B. 22021 + 1.

C. 42021 – 1.

D. 22021 – 1.

Câu 13. Số tập con của tập hợp gồm 2022 phần tử là

A. 2022.

B. 22022 .

C. 20222.

D. 2.2022.

Câu 14. Trong khai triển (x – 2)100 = a0 + a1x1 + ... + a100x100. Tổng hệ số: a0 + a1+ ... + a100 là

A. – 1.

B. 1.

C. 3100.

D. 2100.

Câu 15. Tổng $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{...}+C_{2n}^{2n}$ bằng:

A. 2n-2.

B. 2n-1.

C. 22n-2.

D. 22n-1.

Bảng đáp án