100 công thức về mệnh đề tập hợp (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp giải về tập hợp chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

1. Khái niệm

- Tập hợp có thể hiểu là sự gom nhóm hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó, cùng có một đặc điểm đặc trưng nào đó giống nhau.

- Cho tập hợp A. Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta viết a∈A𝑎∈𝐴. Nếu a không phải là phần tử của A thì ta viết a∉A𝑎∉𝐴.

2. Cách viết tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp bằng cách viết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa hai dấu “{ }” và mỗi phần tử ngăn cách nhau bởi dấu “;”.

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

+ Minh họa cho tập hợp bằng một đường cong khép kín, gọi là biểu đồ ven.

- Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu ∅∅

- Tập hợp con của một tập hợp: Cho 2 tập hợp A, B , nếu mọi phần tử của B cũng là phần tử của A thì B là tập hợp con của A. Kí hiệu: B⊂A𝐵⊂𝐴

- Hai tập hợp bằng nhau: Hai tập hợp A và B bằng nhau nếu A là tập con của B và đồng thời B cũng là tập con của A. Kí hiệu: A = B

3. Phép toán tập hợp:

+ Phép giao: Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: C=A∩B𝐶=𝐴∩𝐵

+ Phép hợp: Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: C=A∪B𝐶=𝐴∪𝐵

+ Phép hiệu: Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A \ B

+ Phép lấy phần bù: Khi B là tập hợp con của tập hợp A thì phép hiệu A \ B được gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu: CAB𝐶𝐴𝐵

- Chú ý:

+ A là tập hợp con của A.

+ Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.

+ Tập hợp A có n phần tử thì nó có 2n2𝑛 tập con.

+ Nếu tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B và B là tập hợp con của C thì A là tập hợp con của C.

II. Các công thức

- Tập hợp con:

+ B⊂A⇔∀x:x∈B⇒x∈A𝐵⊂𝐴⇔∀𝑥:𝑥∈𝐵⇒𝑥∈𝐴

+ {A⊂BB⊂C⇒A⊂C𝐴⊂𝐵𝐵⊂𝐶⇒𝐴⊂𝐶

+ A⊂A;∅⊂A𝐴⊂𝐴;∅⊂𝐴

+ Tập hợp A có n phần tử thì số tập hợp con của A là 2n2𝑛

- Hai tập hợp bằng nhau: A=B⇔{A⊂BB⊂A𝐴=𝐵⇔𝐴⊂𝐵𝐵⊂𝐴

- Phép giao: A∩B={x:x∈A𝐴∩𝐵={𝑥:𝑥∈𝐴 và x∈B}𝑥∈𝐵}

- Phép hợp: A∩B={x:x∈A𝐴∩𝐵={𝑥:𝑥∈𝐴 hoặc x∈B}𝑥∈𝐵}

- Phép hiệu:

+ A\B={x:x∈A𝐴\𝐵={𝑥:𝑥∈𝐴 và x∉B}𝑥∉𝐵}

+ A\A=∅;A\∅=A𝐴\𝐴=∅;𝐴\∅=𝐴

+ A\B≠B\A𝐴\𝐵≠𝐵\𝐴

- Phép lấy phần bù: B⊂A⇒CAB=A\B𝐵⊂𝐴⇒𝐶𝐴𝐵=𝐴\𝐵

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tập hợp A gồm các phần tử là nghiệm của phương trình x2−3x+2=0𝑥2−3𝑥+2=0 và tập hợp B gồm các phần tử là nghiệm của phương trình (x – 1)(x – 2) = 0. Hãy chứng minh rằng A = B.

Lời giải:

Xét phương trình x2−3x+2=0𝑥2−3𝑥+2=0 có: 1 – 3 + 2 = 0

Phương trình có hai nghiệm: x1=1;x2=2𝑥1=1;𝑥2=2

A = {1; 2}

Xét phương trình (x – 1)(x – 2) = 0⇔[x=1x=2⇔𝑥=1𝑥=2

B = {1; 2}

Ta có:

x = 1 thuộc A và cũng thuộc B.

x = 2 thuộc A và cũng thuộc B.

⇒A⊂B⇒𝐴⊂𝐵 (1)

x = 1 thuộc B và cũng thuộc A.

x = 2 thuộc B và cũng thuộc A.

⇒B⊂A⇒𝐵⊂𝐴 (2)

Từ (1) và (2) ta có A = B

Bài 2: Cho tập hợp A = {1; 2; 3} và tập hợp B = {1; 2; 3; 4; 5}. Cho tập hợp C, biết B là tập hợp con của C. Chứng minh A là tập hợp con của B, A là tập hợp con của C, tính số lượng tập hợp con của A.

Lời giải:

Ta có:

x=1∈A𝑥=1∈𝐴 và x=1∈B𝑥=1∈𝐵

x=2∈A𝑥=2∈𝐴 và x=2∈B𝑥=2∈𝐵

x=3∈A𝑥=3∈𝐴 và x=3∈B𝑥=3∈𝐵

⇒∀x:x∈A⇒x∈B⇒∀𝑥:𝑥∈𝐴⇒𝑥∈𝐵

⇒A⊂B⇒𝐴⊂𝐵 (điều cần phải chứng minh)

Ta lại có:

A⊂B𝐴⊂𝐵 (chứng minh trên)

B⊂C𝐵⊂𝐶 (theo đề bài)

⇒A⊂C⇒𝐴⊂𝐶 (điều cần phải chứng minh)

Tập hợp A có 3 phần tử, số lượng tập hợp con của tập hợp A là: 23=823=8.

Bài 3: Cho tập hợp A = {1; 12; 20; 21} , tập hợp B = {1; 12; 20} và tập hợp C = {20; 19; 12; 3}. Tìm các tập hợp A∩C𝐴∩𝐶 ,A∪C𝐴∪𝐶 , CAB𝐶𝐴𝐵 và A\C.

Lời giải:

Xét hai tập hợp A và C ta có:

x = 1 thuộc A và không thuộc C

x = 12 thuộc A và thuộc C

x = 20 thuộc A và thuộc C

x = 21 thuộc A và không thuộc C

x = 19 thuộc C và không thuộc A

x = 3 thuộc C và không thuộc A

A∩C={12;20}𝐴∩𝐶={12;20} ,A∪C={1;3;12;19;20;21}𝐴∪𝐶={1;3;12;19;20;21}, A\C = {1; 21}

Xét hai tập hợp A và B có:

x = 1 vừa thuộc B vừa thuộc A

x = 12 vừa thuộc B vừa thuộc A

x = 20 vừa thuộc B vừa thuộc A

⇒B⊂A⇒CAB=A\B⇒𝐵⊂𝐴⇒𝐶𝐴𝐵=𝐴\𝐵

x = 21 thuộc A và không thuộc B

⇒CAB=A\B={21}