100 công thức về giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán
Công thức và cách giải các dạng toán về giải phương trình lượng giác gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về giải phương trình lượng giác. Mời các bạn đón xem
Nội dung bài viết
Xem thêm »
Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất
1. Lí thuyết
* Công thức nghiệm cơ bản
a) Phương trình sin x = m
+ Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: |m|≤1. Phương trình có nghiệm.
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:
sinx=m⇔sinx=sinα⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈ℤ)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:
sinx=m⇔[x=arcsinm+k2πx=π−arcsinm+k2π(k∈ℤ)
- Các trường hợp đặc biệt:
sinx=0⇔x=kπ(k∈ℤ)sinx=1⇔x=π2+k2π(k∈ℤ)sinx=−1⇔x=−π2+k2π(k∈ℤ)
b) Phương trình cos x = m
+ Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: |m|≤1. Phương trình có nghiệm.
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:
cosx=m⇔cosx=cosα⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈ℤ)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:
cosx=m⇔[x=arccosm+k2πx=−arccosm+k2π(k∈ℤ)
- Các trường hợp đặc biệt:
cosx=0⇔x=π2+kπ(k∈ℤ)cosx=1⇔x=k2π(k∈ℤ)cosx=−1⇔x=π+k2π(k∈ℤ)
c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x≠π2+kπ(k∈ℤ)
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:
tanx=m⇔tanx=tanα⇔x=α+kπ(k∈ℤ)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:
tanx=m⇔x=arctanm+kπ(k∈ℤ)
d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: x≠kπ(k∈ℤ)
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:
cotx=m⇔cotx=cotα⇔x=α+kπ(k∈ℤ)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:
cotx=m⇔x=arccotm+kπ(k∈ℤ)
* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.
2. Công thức
Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin-1; cos-1; tan-1.
+ Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ
- Muốn tìm số đo radian:
ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN)
ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)
- Muốn tìm số đo độ:
ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN)
ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)
+ Bước 2. Tìm số đo góc
Tìm góc α khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.
Tương tự đối với cos và tan.
Chú ý: Muốn tìm góc α khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.
Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a) sinx=√22
b) cos(x−π3)=12
c) cot2x=√3
Lời giải
a) sinx=√22
⇔sinx=sinπ4 (Bấm máy SHIFT + SIN + √22)
⇔[x=π4+k2πx=3π4+k2π(k∈ℤ)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π4+k2π; x=3π4+k2π;k∈ℤ.
b) cos(x−π3)=12
⇔cos(x−π3)=cosπ3 (Bấm máy SHIFT + COS + 12)
⇔[x−π3=π3+k2πx−π3=−π3+k2π⇔[x=2π3+k2πx=k2π(k∈ℤ)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=2π3+k2π; x=k2π; k∈ℤ.
c) cot2x=√3
Điều kiện xác định: sin2x≠0⇔2x≠kπ⇔x≠kπ2(k∈ℤ).
Ta có cot2x=cotπ6 (Bấm máy SHIFT + Tan + 1√3)
⇔2x=π6+kπ
⇔x=π12+kπ2(k∈ℤ) (Thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π12+kπ2; k∈ℤ.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
a) cos(2x−π3)=cos(x+π6)
b) tan(3x+π4)=tanx
Lời giải
a) cos(2x−π3)=cos(x+π6)
⇔[2x−π3=x+π6+k2π2x−π3=−x−π6+k2π⇔[x=π2+k2π3x=π6+k2π⇔[x=π2+k2πx=π18+k2π3(k∈ℤ)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π2+k2π; x=π18+k2π3;k∈ℤ.
b) Điều kiện xác định:
{cos(3x+π4)≠0cosx≠0⇔{3x+π4≠π2+kπx≠π2+kπ⇔{x≠π12+kπ3x≠π2+kπ(k∈ℤ)
Ta có: tan(3x+π4)=tanx
⇔3x+π4=x+kπ⇔2x=−π4+kπ
⇔x=−π8+kπ2(k∈ℤ) (Thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=−π8+kπ2;k∈ℤ.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Phương trình lượng giác 2cosx2+√3=0 có nghiệm là
A. x=±5π6+k2π;k∈ℤ
B. x=±5π3+k2π;k∈ℤ
C. x=±5π3+k4π;k∈ℤ
D. x=±5π6+k4π;k∈ℤ
Câu 2. Phương trình sin(x+π4)=1 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [π;2π]?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 3. Cho phương trình cot3x=cot(x+√3). Nghiệm của phương trình là:
A. √32+kπ;k∈ℤ
B. √32+kπ2;k∈ℤ
C. −√32+kπ;k∈ℤ
D. −√32+kπ2;k∈ℤ
Đáp án:
1 – C, 2 – A, 3 – B