100 bài tập về tiếp tuyến (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

1. Lý thuyết

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y = f’(x₀).(x – x₀) + y₀

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y = f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

Trong đó:

M₀(x₀; y₀) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x₀) là hệ số góc.

Chú ý:

- Nếu cho x₀ thì thế vào y = f(x) tìm y₀.

- Nếu cho y0 thì thế vào y = f(x) tìm x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

Lời giải

Đặt f(x) = x³

Khi đó: f'(x) = 3x²

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Hoành độ tiếp điểm x_M = 2 nên tung độ y_M = (x_M)³ = 8. Vậy M(2; 8).

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tung độ tiếp điểm $y_M=5\Rightarrow {\left(x_M\right)}^3=5\Rightarrow x_M=\sqrt[3]{5}\Rightarrow M\left(\sqrt[3]{5};5\right)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M $\Rightarrow k=f^{\text{'}}\left(\sqrt[3]{5}\right)=3\sqrt[3]{25}.$

Phương trình tiếp tuyến tại M là:$y=3\sqrt[3]{25}\left(x-\sqrt[3]{5}\right)+5$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Lời giải

Đặt $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x-1}$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x-2\right)}^{\text{'}}\left(x-1\right)-\left(x-2\right){\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}$$=\frac{\left(x-1\right)-\left(x-2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$$=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

a) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tiếp điểm có tung độ: $y_M=4\Rightarrow \frac{x_M-2}{x_M-1}=4\Rightarrow x_M=\frac{2}{3}\Rightarrow M\left(\frac{2}{3};4\right)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M$\Rightarrow k=f^{\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)=9.$

Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=9\left(x-\frac{2}{3}\right)+4\Rightarrow y=9x-2.$

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y_M=\frac{x_M-2}{x_M-1}=0\Rightarrow x_M=2\Rightarrow M\left(2;0\right)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M $\Rightarrow k=f^{\text{'}}\left(2\right)=1.$

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x – 2.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x_M=0\Rightarrow y_M=\frac{x_M-2}{x_M-1}=\frac{-2}{-1}=2\Rightarrow M\left(0;2\right)$

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M. Khi đó k = f'(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2. Hay y = x + 2.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc

Phương pháp giải:

- Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

- Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

Chú ý:

* Cho hai đường thẳng: d₁ : y = a₁x + b₁ và d₂ : y = a₂x + b₂, với a₁, a₂ lần lượt là hệ số góc của d₁ và d₂. Khi đó:

$d_1//d_2\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1\ne b_2\end{array}\right.$

$d_1\perp d_2\iff a_1.a_2=-1$

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: $k_d=a=\tan \alpha$ với $\alpha$ là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có $k_{{}_d}=\tan \alpha =a$.

Khi a < 0, ta có $k_d=\tan \left({180}^0-\alpha \right)$.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+1$ có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $\left(d\right):y=-\frac{1}{6}x+1$.

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d'): y = 2020.

Lời giải

Ta có y' = f'(x) = x² – x.

a) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$$\in \left(C\right)$ mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

$\Rightarrow f\text{'}\left(x_0\right)=2\iff x_0^2-x_0=2\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=2\\ x_0=-1\end{array}\right.$

* Với x₀ = 2 ta có $y_0=f\left(0\right)=\frac{1}{3}{\left(2\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(2\right)}^2+1=\frac{5}{3}$ $\Rightarrow M_1\left(2;\frac{5}{3}\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_1=\left(2;\frac{5}{3}\right)$ là $y=2(x-2)+\frac{5}{3}$ hay $y=2x-\frac{7}{3}$.

* Với x₀ = – 1 ta có $y_0=f\left(-1\right)=\frac{1}{6}$$\Rightarrow M_2\left(-1;\frac{1}{6}\right)$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_2\left(-1;\frac{1}{6}\right)$ là $y=2(x+1)+\frac{1}{6}$ hay $y=2x+\frac{13}{6}$.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d) $y=-\frac{1}{6}x+1$ nên $-\frac{1}{6}.k=-1\Rightarrow k=6$

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

$\Rightarrow f\text{'}\left(x_0\right)=6\Rightarrow x_0^2-x_0=6\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=3\\ x_0=-2\end{array}\right.$

* Với x₀ = 3 ta có $y_0=f\left(3\right)=\frac{11}{2}$$\Rightarrow M_1\left(3;\frac{11}{2}\right)\in \left(C\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M_1\left(3;\frac{11}{2}\right)$ là $y=6\left(x-3\right)+\frac{11}{2}$ hay $y=6x-\frac{25}{2}$

* Với x₀ = - 2 ta có $y_0=f\left(-2\right)=-\frac{11}{3}$$\Rightarrow M_2\left(-2;-\frac{11}{3}\right)\in \left(C\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M_2=\left(-2;-\frac{11}{3}\right)$ là: $y=6\left(x+2\right)-\frac{11}{3}$ hay $y=6x+\frac{25}{3}$

c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc

$\Rightarrow k=0$

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0

$\Rightarrow f\text{'}\left(x_0\right)=0\iff x_0^2-x_0=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=0\\ x_0=1\end{array}\right.$

* Với x₀ = 0 ta có $y_0=f\left(0\right)=1\Rightarrow M_1\left(0;1\right)\in \left(C\right)$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(0; 1) là y = 1.

* Với x₀ = 1 ta có $y_0=f\left(1\right)=\frac{5}{6}\Rightarrow M_2\left(1;\frac{5}{6}\right)\in \left(C\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M_2\left(1;\frac{5}{6}\right)$ là $y=\frac{5}{6}$.

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{4x-3}{x-1}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$ của (C) biết:

a) $\left(\Delta \right)$ tạo với Ox một góc bằng 45⁰

b)$\left(\Delta \right)$ song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải

TXĐ: $D=R\backslash \left\{-1\right\}$.

Ta có: $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\frac{4\left(x-1\right)-\left(4x-3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$.

a) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$.

Tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$ có hệ số góc là $k=f\left(x_0\right)=-\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}<0,\forall x_0\ne 1$

Mà $\left(\Delta ;\text{Ox}\right)={45}^0\Rightarrow k=\tan \left({180}^0-{45}^0\right)=\tan \left({135}^0\right)=-1$

$\iff -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-1$$\iff {\left(x_0-1\right)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0-1=1\\ x_0-1=-1\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=2\\ x_0=0\end{array}\right.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(TM)}$

* Với x₀ = 2 $\Rightarrow y_0=f\left(2\right)=\frac{4.2-3}{2-1}=5\Rightarrow M_1\left(2;5\right)$

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$tại điểm M₁(2; 5) là: $\left(\Delta \right):y=-1.\left(x-2\right)+5\iff y=-x+7$

* Với x₀ = 0 $\Rightarrow y_0=f\left(0\right)=\frac{4.0-3}{0-1}=3\Rightarrow M_2\left(0;3\right)$

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$ tại điểm M₂(0; 2) là: $\left(\Delta \right):y=-1.\left(x-0\right)+3\iff y=-x+3$.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$.

$\left(d\right):4x+y-5=0\Rightarrow y=-4x+5$

Do tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$song song với đt $\left(d\right)$ $\Rightarrow k=-4$

$\Rightarrow -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-4$$\iff {\left(x_0-1\right)}^2=4$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0-1=2\\ x_0-1=-2\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=3\\ x_0=-1\end{array}\right.$

* Với x₀ = 3 ta có $y_0=f\left(3\right)=\frac{4.3-3}{4-1}=3\Rightarrow M_1\left(3;3\right)$.

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right):y=-4.\left(x-3\right)+3\iff y=-4x+15$

* Với x₀ = – 1 ta có $y_0=f\left(-1\right)=\frac{4.\left(-1\right)-3}{\left(-1\right)-1}=\frac{7}{2}\Rightarrow M_2\left(-1;\frac{7}{2}\right)$

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$$y=-4\left(x+1\right)+\frac{7}{2}\iff y=-4x-\frac{1}{2}$.

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm

Phương pháp giải:

- Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x₀; f(x₀). Tính y' = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x₀).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

- Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(x_A; y_A)

Nên y_A = f'(x₀)(x_A – x₀) + f(x₀). Phương trình đưa về ẩn x₀ . Giải phương trình tìm x₀.

- Bước 3: Với x₀ tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9).

Lời giải

Gọi $A\left(x_0;4x_0^3-6x_0^2+1\right)$ là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

f'(x) = 12x² – 12x.

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là $d:y=\left(12x_0^2-12x_0\right)\left(x-x_0\right)+4x_0^3-6x_0^2+1.$

Vì $M\in d$ nên: $-9=\left(12x_0^2-12x_0\right)\left(-1-x_0\right)+4x_0^3-6x_0^2+1.$

$\iff -8x_0^3-6x_0^2+12x_0+10=0$ $\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=\frac{5}{4}\\ x_0=-1\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}A\left(\frac{5}{4};\frac{-9}{16}\right)\\ A\left(-1;-9\right)\end{array}\right..$

Với $A\left(\frac{5}{4};\frac{-9}{16}\right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là:$y=\frac{15}{4}x-\frac{21}{16}.$

Với $A\left(-1;-9\right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x+2}{2x+3}$ có đồ thị (C). Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của (C), biết rằng (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O. Viết phương trình đường thẳng (d).

Lời giải

$TXĐ:D=R\backslash \left\{-\frac{3}{2}\right\}$

Ta có $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x+3\right)-2\left(x+2\right)}{{\left(2x+3\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}$.

Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc là $k=-\frac{1}{{\left(2x_0+3\right)}^2}$.

Tiếp tiếp (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ $\Rightarrow m\ne 0,k\ne 0.$

Do $A\in \text{Ox}\Rightarrow \text{A}\left(-\frac{m}{k};0\right);B\in Oy\Rightarrow B\left(0;m\right)$

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên $OA=OB\iff \left|\frac{m}{k}\right|=\left|m\right|\iff m^2\left(\frac{1}{k^2}-1\right)=0$

Do $m\ne 0\Rightarrow \frac{1}{k^2}-1=0\iff \left[\begin{array}{l}k=-1\\ k=1\end{array}\right.$

Mà do (d) có hệ số góc $k=-\frac{1}{{\left(2x_0+3\right)}^2}<0\Rightarrow k=-1$

$\Rightarrow -\frac{1}{{\left(2x_0+3\right)}^2}=-1$$\iff {\left(2x_0+3\right)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x_0+3=1\\ 2x_0+3=-1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=-1\Rightarrow y_0=1\\ x_0=-2\Rightarrow y_0=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{M}_1\left(-1;1\right)\\ M_2\left(-2;0\right)\end{array}\right.$

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(–1; 1) là $\left(d\right):y=-\left(x+1\right)+1\iff y=-x$ (không thỏa mãn).

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₂(– 2; 0) là $\left(d\right):y=-\left(x+2\right)+0\iff y=-x-2$

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{2x-4}{x-3}$ có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.

B. y = 3x + 1.

C. y = – 2x + 4.

D. y = 2x.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ – 2x² + 3x tại điểm có hoành độ x₀ = – 1 là:

A. y = 10x + 4.

B. y = 10x – 5.

C. y = 2x – 4.

D. y = 2x – 5.

Câu 3. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

A. – 3.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Câu 4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ $x_0=\frac{\pi }{4}$ là

A. $\frac{1}{2}.$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

C. 1.

D. 2.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = – 8x – 6.

B. y = 8x – 6, y = – 8x + 6.

C. y = 8x – 8, y = – 8x + 8.

D. y = 40x – 57.

Câu 6. Trên đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

A. (2;1).

B. $\left(4;\frac{1}{3}\right).$

C. $\left(-\frac{3}{4};-\frac{4}{7}\right).$

D. $\left(\frac{3}{4};-4\right).$

Câu 7. Tiếp tuyến của paraboly = 4 – x² tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:

A. $\frac{25}{2}$.

B. $\frac{5}{4}$.

C. $\frac{5}{2}$.

D. $\frac{25}{4}$.

Câu 8. Cho hàm số y = x² – 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:

A. x = – 3.

B. y = – 4.

C. y = 4.

D. x = 3.

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{3}+3x^2-2$ có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A. y – 16 = – 9(x + 3).

B. y = – 9(x + 3).

C. y – 16 = – 9(x – 3).

D. y + 16 = – 9(x + 3).

Câu 10. Cho hàm số $y=2-\frac{4}{x}$ có đồ thị (H). Đường thẳng $∆$ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của $∆$là

A. y = x + 4.

B. $\left[\begin{array}{l}y=x-2\\ y=x+4\end{array}\right.$.

C. $\left[\begin{array}{l}y=x-2\\ y=x+6\end{array}\right.$.

D. Không tồn tại.

Câu 11. Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = – 9x – 7 là:

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2x có đồ thị (C). Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017. Khi đó x₁ + x₂ bằng:

A. $\frac{4}{3}$.

B. $\frac{-4}{3}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. -1.

Câu 13. Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(– 1; 0) là:

A. $y=\frac{3}{4}x$.

B. $y=\frac{3}{4}\left(x+1\right)$.

C. y = 3(x + 1).

D. y = 3x + 1.

Câu 14. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Câu 15. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}-x+1$, có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình:

A. y = – x + 1 và y = x – 3.

B. y = 2x – 5 và y = – 2x + 3.

C. y = – x – 1 và y = – x + 3.

D. y = x + 1 và y = – x – 3.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	A	A	D	A	D	D	B	A	C	D	A	B	B	A