100 bài tập về phương trình lôgarit (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

   

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình lôgarit cơ bản:

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ${\log }_{a}x=b$ ,$a,b>0,a\ne 1$

Theo định nghĩa logarit ta có ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$

b. Phương pháp giải phương trình lôgarit

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

$$\begin{gathered} {\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right) \\ \iff \left\{\begin{array}{c}0<a\ne 1\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)>0\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Đặt ẩn phụ:

$$\begin{gathered} f\left[{\log }_{a}g\left(x\right)\right]=0(0<a\ne 1) \\ \iff \left\{\begin{array}{c}t={\log }_{a}g\left(x\right)\\ f\left(t\right)=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Mũ hóa hai vế:

$$\begin{gathered} {\log }_{a}g\left(x\right)=f\left(x\right)(0<a\ne 1) \\ \iff \left\{\begin{array}{c} g\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)=a^{f\left(x\right)}\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

${\log }_{a}x=f\left(x\right)\left(0<a\ne 1\right)\left(*\right)$

Xem phương trình $\left(*\right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y={\log }_{a}x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$. Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$.

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

+ Sử dụng đánh giá

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình loogarit cơ bản

A. Phương pháp giải

Xét phương trình lôgarit cơ bản:${\log }_{a}f\left(x\right)=b$,$a,b>0,a\ne 1$

 + Bước 1: Nêu điều kiện để f(x) có nghĩa

 + Bước 2: Giải phương trình ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b$

 + Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm của phương trình ${\log }_4\left(x-2\right)=2$.

A. $S=\left\{16\right\}$

B. $S=\left\{18\right\}$.

C. $S=\left\{10\right\}$

D. $S=\left\{14\right\}$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

$$\begin{gathered} {\log }_4\left(x-2\right)=2 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-2>0\\ {\log }_4\left(x-2\right)={\log }_4{4}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x-2=4^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x=18\end{array}\right.\iff x=18 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {18}.

Câu 2: Số nghiệm của phương trình $\log {\left(x-1\right)}^2=2$.

A. 2.

B. 1

C. 0

D. một số khác.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện

$$\begin{gathered} {\left(x-1\right)}^2>0 \\ \iff x-1\ne 0\iff x\ne 1. \end{gathered}$$

Ta có

$$\begin{gathered} \log {\left(x-1\right)}^2=2=\log {10}^2 \\ \iff {\left(x-1\right)}^2=100 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=11\\ x=-9\end{array}\right.$(thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 3: Số nghiệm của phương trình ${\log }_2\left[x\left(x-1\right)\right]=1$ là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện xác định:

$x\left(x–1\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}x<0\\ x>1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} pt\iff x\left(x-1\right)=2 \\ \iff x^2-x-2=0 \end{gathered}$$

$\iff x=-1$ hoặc $x=2$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 4: Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình ${\log }_2\left[x\left(x+3\right)\right]=1$. Khi đó $x_1+x_2$ bằng:

A. -3

B. -2

C. $\sqrt{17}$

D. $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: $\left[\begin{array}{l}x<-3\\ x>0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} {\log }_2\left[x\left(x+3\right)\right]=1 \\ \iff x\left(x+3\right)=2 \\ \iff x^2+3x-2=0 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy $x_1+x_2=-3.$

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3.

Câu 5: Gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình ${\log }_2\left[x\left(x-1\right)\right]=1$. Khi đó tích $x_1.x_2$ bằng:

A. -2

B. 1.

C. -1

D. 2.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện $x<0$ hoặc $x>1$

$$\begin{gathered} {\log }_2\left[x\left(x-1\right)\right]=1 \\ \iff x^2-x-2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=2\end{array}\right. \\ \iff x_1.x_2=-2 \end{gathered}$$

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp giải

Xét phương trình cùng cơ số:

${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right),0<a\ne 1$

 + Bước 1: Nêu điều kiện $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)>0\end{array}\right.$

 + Bước 2 Giải phương trình:

$$\begin{gathered} {\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right) \\ \iff f\left(x\right)=g\left(x\right) \end{gathered}$$

 + Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(x^2-1\right)={\log }_2\left(2x\right)$ là

A. $\left\{1+\sqrt{2}\right\}$

B. {2; 41}

C. $\left\{1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right\}$

D. $\left\{\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right\}$

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-1>0\\ 2x>0\end{array}\right.\iff x>1.$

Khi đó PT $\iff x^2-1=2x$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.$

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là $\left\{1+\sqrt{2}\right\}$.

Câu 2: Cho phương trình ${\log }_5\left(x^3+2\right)+{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-6\right)=0\left(1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^2-6>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}\right.$

B. $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}\right.$

C. $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-6>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}\right.$

D. $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x^3+2\right)\left(x^2-6\right)>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện của phương trình là $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^2-6>0\end{array}\right.$

Khi đó

$$\begin{gathered} \left(1\right)\iff {\log }_5\left(x^3+2\right)-{\log }_5\left(x^2-6\right)=0 \\ \iff {\log }_5\frac{x^3+2}{x^2-6}=0={\log }_{5}1 \\ \iff \frac{x^3+2}{x^2-6}=1 \\ \iff x^3-x^2+8=0 \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^2-6>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}\right.$

Câu 3: Số nghiệm của phương trình $\ln \left(x^2-6\text{x}+7\right)=\ln \left(x-3\right)$ là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-3>0\\ x^2-6x+7>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ \left[\begin{array}{l}x>3+\sqrt{2}\\ x<3-\sqrt{2}\end{array}\right.\iff x>3+\sqrt{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \ln \left(x^2-6x+7\right)=\ln \left(x-3\right) \\ \iff x^2-6x+7=x-3 \\ \iff x^2-7x+10=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện, x = 5 là giá trị cần tìm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính $\ln \left(X^2-6X+7\right)-\ln \left(X-3\right)=0$

Ấn SHIFT CALC nhập X = 4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn =. Máy hiện X = 5.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:

$\frac{\ln \left(X^2-6X+7\right)-\ln \left(X-3\right)}{X-A}=0$

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 4: Phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(2^x+1\right)+{\log }_3\left(4^x+5\right)=1$ có tập nghiệm là tập nào sau đây?

A. $\left\{1;2\right\}$

B. $\left\{3;\frac{1}{9}\right\}$

C. $\left\{\frac{1}{3};9\right\}$

D. $\left\{0;1\right\}$

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\log }_{3}x-{\log }_3\left(x-2\right)={\log }_{\sqrt{3}}m$ có nghiệm?

A. $m>1$

B. $m\ge 1$

C. $m<1$

D. $m\le 1$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Kết hợp với điều kiện m > 0, ta được m > 1.

Phương trình có nghiệm x >2 khi m >1 ,chọn đáp án A

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay m =0 (thuộc C, D) vào biểu thức ${\log }_{\sqrt{3}}m$ không xác định, vậy loại C, D,

Thay m =1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương $x=x-2$ vô nghiệm

Vậy chọn đáp án A.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải

Xét phương trình:$f\left[{\log }_{a}g\left(x\right)\right]=0(0<a\ne 1)$

 + Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > 0

 + Bước 2: Đặt $t={\log }_{a}g\left(x\right)$

Giải phương trình f(t) = 0, tìm t.

 + Bước 3: Thay vào phương trình: $t={\log }_{a}g\left(x\right)$, tìm x.

 + Bước 4: Kết hợp với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Nếu đặt $t={\log }_{2}x$ thì phương trình $\frac{1}{5-{\log }_{2}x}+\frac{2}{1+{\log }_{2}x}=1$ trở thành phương trình nào?

A. $t^2-5t+6=0$

B. $t^2+5t+6=0$

C. $t^2-6t+5=0$

D. $t^2+6t+5=0$

Hướng dẫn giải

Chọn A

Câu 2: Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $\frac{1}{4+{\log }_{2}x}+\frac{2}{2-{\log }_{2}x}=1$. Khi đó $x_1.x_2$bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{4}$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 4\\ x\ne \frac{1}{16}\end{array}\right.$

Đặt $t={\log }_{2}x$ ,điều kiện $\left\{\begin{array}{l}t\ne -4\\ t\ne 2\end{array}\right.$. Khi đó phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{1}{4+t}+\frac{2}{2-t}=1 \\ \iff t^2+3t+2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x_1.x_2=\frac{1}{8}$

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$.

Câu 3: Phương trình ${\log }_5^2(2x-1)-8{\log }_5\sqrt{2x-1}+3=0$ có tập nghiệm là:

A. $\left\{-1;-3\right\}$

B. $\left\{1;3\right\}$

C. $\left\{3;63\right\}$

D. $\left\{1;2\right\}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

[Phương pháp tự luận]

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x =1 (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3=0 vô lý, vậy loại B, D,

Thay x = - 1 vào ${\log }_5\left(2x-1\right)$ ta được ${\log }_5\left(-3\right)$ không xác định, nên loại A

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4: Gọi $x_1$, $x_2$là các nghiệm của phương trình ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0$. Giá trị của biểu thức $P=x_1^2+x_2^2$ bằng bao nhiêu?

A. 20

B. 5

C. 36

D. 25

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện x >0. Giải phương trình bậc hai với ẩn là ${\log }_{2}x$ ta được:

$$\begin{gathered} {\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{2}x=1\\ {\log }_{2}x=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó, $P={x_1}^2+{x_2}^2=2^2+4^2=20$.

Câu 5:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{\log }_2}^{2}x+2{\log }_{2}x-m=0$ có nghiệm x >2

A. $m<-1.$

B. $m\ge 3.$

C. $m<3.$

D. $m>3.$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

${{\log }_2}^{2}x+2{\log }_{2}x-m=0$ (1).

Đặt $t={\log }_{2}x$, phương trình (1) trở thành: $t^2+2t-m=0\iff t^2+2t=m$ (2).

Phương trình (1) có nghiệm $x>2\iff$ phương trình (2) có nghiệm:

$t>1\left(dot={\log }_{2}x>{\log }_{2}2=1\right)$

Xét hàm số $y=t^2+2t$$\hspace{0.17em}\Rightarrow y\text{'}=2t+2,y\text{'}=0\iff t=-1$ ( loại).

Bảng biến thiên

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm $t>1\iff m>3.$

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa

A. Phương pháp giải

Xét phương trình: ${\log }_{a}g\left(x\right)=f\left(x\right)(0<a\ne 1)$

 + Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > 0

 + Bước 2: Giải phương trình:

$$\begin{gathered} {\log }_{a}g\left(x\right)=f\left(x\right)(0<a\ne 1) \\ \iff g\left(x\right)=a^{f\left(x\right)} \end{gathered}$$

 + Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho x thỏa mãn phương trình ${\log }_2\left(\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}\right)=3-x$. Giá trị của biểu thức $P=x^{{\log }_{2}4x}$ là

A. $P=4$

B. $P=1$

C. $P=8$

D. $P=2$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$$\begin{gathered} {\log }_2\left(\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}\right)=3-x \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}>0\\ \frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}=\frac{8}{2^x}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}>0\\ \left[\begin{array}{l}{2}^x=-\frac{4}{5}\\ 2^x=4\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff 2^x=4\iff x=2 \end{gathered}$$

Vậy $P=2^{{\log }_2\left(4.2\right)}=8$

Câu 2: Phương trình ${\log }_2\left({3.2}^x-1\right)=2x+1$có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

$$\begin{gathered} {3.2}^x-1>0\iff 2^x>\frac{1}{3} \\ \iff x>{\log }_2\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\log }_2\left({3.2}^x-1\right)=2x+1 \\ \iff {3.2}^x-1=2^{2x+1} \\ \iff {2.4}^x-{3.2}^x+1=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{2}^x=1\\ 2^x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính:

${\log }_2\left(3x{2}^X-1\right)-2X-1=0$

Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:

$\frac{{\log }_2\left(3x{2}^X-1\right)-2X-1}{X-A}=0$

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.

Ấn Alpha X Shift STO B.

Ấn AC. Viết lại phương trình:

$\frac{{\log }_2\left(3\text{x}{2}^X-1\right)-2X-1}{\left(X-A\right)\left(X-B\right)}=0$

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 3: Số nghiệm nguyên dương của phương trình ${\log }_2\left(4^x+4\right)=x-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)$ là:

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =2.

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${\log }_5\left({25}^x-{\log }_{5}m\right)=x$ có nghiệm duy nhất.

A. $m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}.$

B. $m=1$

C. $\left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\end{array}\right..$

D. $m\ge 1.$

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Điều kiện ${25}^x-{\log }_{5}m>0$

PT:

$$\begin{gathered} \iff {25}^x-{\log }_{5}m=5^x \\ \stackrel{t=5^x>0}{\to }{t}^2-t={\log }_{5}m \end{gathered}$$

Xét $g\left(t\right)=t^2-t$ trên $\left(0;+\infty \right)$ ta có bảng biến thiên:

PT đã cho có nghiệm duy nhất:

$\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{5}m=-\frac{1}{4}\\ {\log }_{5}m\ge 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\\ m\ge 1\end{array}\right.$.

Dạng 5. Phương pháp hàm số, đồ thị và đánh giá

A. Phương pháp giải

 + Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

${\log }_{a}x=f\left(x\right)\left(0<a\ne 1\right)\left(*\right)$

Xem phương trình $\left(*\right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y={\log }_{a}x\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$. Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$.

 Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

 + Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

 + Sử dụng đánh giá

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Phương trình: $\ln \left(x^2+x+1\right)-\ln \left(2x^2+1\right)=x^2-x$ có tổng bình phương các nghiệm bằng:

A. 5

B. 1

C. 9

D. 25

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${\log }_{\frac{3}{2}}\left|x-2\right|-{\log }_{\frac{2}{3}}\left(x+1\right)=m$ có ba nghiệm phân biệt.

A. $m>3$

B. $m<2$

C. $m>0$

D. $m=2$

Hướng dẫn gải:

Chọn B.

Điều kiện: $-1<x\ne 2.$

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{3}{2}}\left|x-2\right|+{\log }_{\frac{3}{2}}\left(x+1\right)=m \\ \iff {\log }_{\frac{3}{2}}\left(\left|x-2\right|\left(x+1\right)\right)=m \\ \iff \left|x-2\right|\left(x+1\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^m (*) \end{gathered}$$

Phương trình $\left(*\right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\left|x-2\right|\left(x+1\right)$ và đường thẳng $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^m$ (cùng phương với trục hoành).

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left|x-2\right|\left(x+1\right)$ xác định trên $\left(-1;2\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

Ta có :

Đồ thị

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình $\left(*\right)$ có ba nghiệm phân biệt khi

$$\begin{gathered} 0<{\left(\frac{3}{2}\right)}^m<\underset{\left(-1;2\right)}{\max }g\left(x\right) \\ \iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^m<\frac{9}{4}\iff m<2 \end{gathered}$$

Chọn B.

Câu 3: Cho phương trình ${\log }_3\frac{x^2-2x+1}{x}+x^2+1=3x$ có tổng tất cả các nghiệm bằng

A. 5

B. 3

C. $\sqrt{5}$

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(x-1\right)=3.$

A. $x=9$

B. $x=7$

C. $x=8$

D. $x=10$

Câu 2: Phương trình ${\log }_{\sqrt[4]{2}}{\left(x^2-2\right)}^2=8$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

Câu 3: Số nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x.{\log }_3(2x-1)=2{\log }_{2}x$ là:

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của phương trình ${\log }_2\left(x^2-4x+3\right)={\log }_2\left(4x-4\right)$

A. $S=\left\{1;7\right\}.$

B. $S=\left\{7\right\}.$

C. $S=\left\{1\right\}.$

D. $S=\left\{3;7\right\}.$

Câu 5: Số nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(5x\right)-{\log }_{25}\left(5x\right)-3=0$ là:

A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 6: Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(x^2-x-5\right)={\log }_3\left(2x+5\right)$.

Khi đó $\left|x_1-x_2\right|$ bằng:

A. 5.

B. 3.

C. -2

D. 7.

Câu 7: Số nghiệm của phương trình ${\log }_4\left(x+12\right).{\log }_{x}2=1$ là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 8: Giải phương trình ${\log }_4\left(x+1\right)+{\log }_4\left(x-3\right)=3.$

A. $x=1\pm 2\sqrt{17}.$

B. $x=1+2\sqrt{17}.$

C. $x=33$

D. $x=5$

Câu 9: Phương trình ${\log }_3(5x-3)+{\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+1)=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ trong đó $x_1<x_2$.Giá trị của $P=2x_1+3x_2$ là

A. 5.

B. 14.

C. 3.

D. 13.

Vậy $2x_1+3x_2=2.1+3.4=14$.

Câu 10: Số nghiệm của phương trình ${\log }_2(x^3+1)-{\log }_2(x^2-x+1)-2{\log }_{2}x=0$ là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 11: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình ${\log }_{2+\sqrt{3}}(mx+3)+{\log }_{2-\sqrt{3}}(m^2+1)=0$ có nghiệm bằng 1?

A. $\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.$

B. $\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$

C. m <3

D. m >3

Câu 12: Phương trình ${\log }_{a^3+2}3-{\log }_{4-a}3=0$ có bao nhiêu nghiệm trên R?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${\log }_{\frac{3}{2}}\left|x-2\right|-{\log }_{\frac{2}{3}}\left(x+1\right)=m$ có ba nghiệm phân biệt.

A. m >3

B. m <2

C. m >0

D. m =2

Câu 14: Nếu đặt $t={\log }_{2}x$ thì phương trình ${\log }_2\left(4x\right)-{\log }_{x}2=3$ trở thành phương trình nào?

A. $t^2-t-1=0$

B. $4t^2-3t-1=0$

C. $t+\frac{1}{t}=1$

D. $2t-\frac{1}{t}=3$

Câu 15: Phương trình $\frac{1}{4-\ln x}+\frac{2}{2+\ln x}=1$ có tích các nghiệm là:

A. $e^3$

B. $\frac{1}{e}$

C. e

D. 2

Câu 16: Nghiệm lớn nhất của phương trình $-{\log }^{3}x+2{\log }^{2}x=2-\log x$ là :

A. 100.

B. 2.

C. 10.

D. 1000.

Câu 17: Nếu đặt $t={\log }_2\left(5^x-1\right)$ thì phương trình ${\log }_2\left(5^x-1\right).{\log }_4\left({2.5}^x-2\right)=1$ trở thành phương trình nào?

A. $t^2+t-2=0$

B. $2t^2=1$

C. $t^2-t-2=0$

D. $t^2=1$

Câu18: Nghiệm nguyên của phương trình ${\log }_2\left(x-\sqrt{x^2-1}\right).{\log }_3\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)={\log }_6\left|x-\sqrt{x^2-1}\right|$ là:

A. x =1

B. x =-1

C. x =2

D. x =3

Câu19: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình ${\log }_2^{2}x-(m-1){\log }_{2}x+4-m=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[1;4\right]$ là

A. $3<m\le 4$

B. $3\le m\le \frac{10}{3}$

C. $\frac{10}{3}<m\le 4$

D. $3<m\le \frac{10}{3}$.

Câu 20. Cho phương trình ${4.5}^{\log \left(100x^2\right)}+{25.4}^{\log \left(10x\right)}={29.10}^{1+\log x}$. Gọi $av\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b$ lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó tích ab bằng:

A. 0

B. 1

C. $\frac{1}{100}$.

D. $\frac{1}{10}$

Câu 21: Với giá trị nào của m thì phương trình ${\log }_2(4^x+2m^3)=x$ có 2 nghiệm phân biệt?

A. $m<\frac{1}{2}$

B. $m>-\sqrt[3]{\frac{4^x}{2}}$

C. $0<m<\frac{1}{2}$

D. $m>0$

Câu 22: Phương trình ${\log }_3\left(x^2+x+1\right)=x\left(2-x\right)+{\log }_{3}x$ có bao nhiêu nghiệm

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Câu 23: Số nghiệm của phương trình ${\log }_3\left|x^2-\sqrt{2}x\right|={\log }_5\left(x^2-\sqrt{2}x+2\right)$ là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Câu 24: Tập hợp các giá trị của m để phương trình $m\cdot \ln \left(1-2^x\right)-x=m$ có nghiệm thuộc $\left(-\infty ;0\right)$ là

A. $\left(\ln 2;+\infty \right)$

B. $\left(0;+\infty \right)$

C. $\left(1;e\right)$

D. $\left(-\infty ;0\right)$

Câu 25: Biết phương trình ${\log }_5\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{\log }_3\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$ có nghiệm duy nhất $x=a+b\sqrt{2}$ trong đó a,b là các số nguyên. Tính a +b?

A. 5

B. -1

C. 1

D. 2

Đáp án