100 bài tập về tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp giải tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ hay nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Khái niệm đường parabol: Một đường parabol là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

- Phương trình Parabol có dạng: y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

- Gọi I là đỉnh của Parabol ta có xI=−b2a𝑥𝐼=−𝑏2𝑎; yI=−Δ4a𝑦𝐼=−𝛥4𝑎 ( trong đó Δ=b2−4ac𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐)

- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là:

f(x) = g(x).

- Gốc tọa độ có tọa độ là O(0; 0)

- Trục tung có phương trình: x = 0.

- Trục hoành có phương trình: y = 0

II. Các công thức

Cho parabol (P): y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, ta có:

- Tọa độ đỉnh I của Parabol là I(−b2a;−Δ4a)−𝑏2𝑎;−𝛥4𝑎 (trong đó Δ=b2−4ac𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐)

- Tọa độ giao điểm A của Parabol y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 với trục tung x = 0:

Thay x = 0 vào phương trình Parabol có:y=c⇒𝑦=𝑐⇒ A (0; c)

- Tọa độ giao điểm B của Parabol y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 với trục hoành y = 0:

Hoành độ của B là nghiệm của phương trình y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm ⇒⇒ không tồn tại điểm B

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép ⇒⇒ Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B(−b2a;0)−𝑏2𝑎;0

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Parabol cắt trục hoành tại hai điểm B1(−b+√Δ2a;0)𝐵1−𝑏+𝛥2𝑎;0 và B2(−b−√Δ2a;0)𝐵2−𝑏−𝛥2𝑎;0

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho Parabol có phương trình y=−2x2+4x−3𝑦=−2𝑥2+4𝑥−3. Tìm giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục tung.

Vì M cũng thuộc trung tung nên ta có M(0;yM)𝑀(0;𝑦𝑀)

Thay x = 0 vào y=−2x2+4x−3𝑦=−2𝑥2+4𝑥−3 ta có: y = -2.0 + 4.0 – 3 = -3

⇒⇒ M (0; -3)

Gọi N là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Vì N cũng thuộc trục hoành nên ta có: N(xN;0)𝑁(𝑥𝑁;0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

−2x2+4x−3=0−2𝑥2+4𝑥−3=0(1)

Δ=42−4.(−2).(−3)=−8<0𝛥=42−4.(−2).(−3)=−8<0

⇒⇒Phương trình (1) vô nghiệm. ⇒⇒ Parabol và trục hoành không có giao điểm.

Bài 2: Cho parabol có phương trình y=x2−3x+2𝑦=𝑥2−3𝑥+2. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Lời giải:

Gọi I là đỉnh của Parabol y=x2−3x+2𝑦=𝑥2−3𝑥+2. Ta có:

xI=−b2a=−(−3)2.1=32Δ=(−3)2−4.1.2=1yI=−Δ4a=−14.1=−14⇒I(32;−14)𝑥𝐼=−𝑏2𝑎=−(−3)2.1=32𝛥=(−3)2−4.1.2=1𝑦𝐼=−𝛥4𝑎=−14.1=−14⇒𝐼32;−14

Vậy đỉnh của parabol là I(32;−14)𝐼32;−14

Bài 3: Tìm giao điểm của các Parabol sau với trục hoành.

a) y=2x2+3x−5𝑦=2𝑥2+3𝑥−5

b) y=x2−2x+1𝑦=𝑥2−2𝑥+1

Lời giải:

a) y=2x2+3x−5𝑦=2𝑥2+3𝑥−5

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

y=2x2+3x−5𝑦=2𝑥2+3𝑥−5 (1)

Δ=(−3)2−4.2.(−5)=49𝛥=(−3)2−4.2.(−5)=49> 0

⇒⇒Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

x1=−3+√492.2=1;x2=−3−√492.2=−52𝑥1=−3+492.2=1;𝑥2=−3−492.2=−52

⇒M1(1;0)⇒𝑀11;0 và M2(−52;0)𝑀2−52;0

Vậy Parabol giao với trục hoành tại hai điểm M1(1;0)𝑀11;0 và M2(−52;0)𝑀2−52;0.

b) y=x2−2x+1𝑦=𝑥2−2𝑥+1

Gọi B là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

x2−2x+1=0𝑥2−2𝑥+1=0(1)

Δ=(−2)2−4.1.1=0𝛥=(−2)2−4.1.1=0

⇒⇒Phương trình (1) có nghiệm kép x=−(−2)2.1=1𝑥=−(−2)2.1=1

⇒⇒B(1; 0)

Vậy Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(1; 0).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho parabol có phương trình y=2x2−5x+6𝑦=2𝑥2−5𝑥+6. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Bài 2: Cho parabol có phương trình y=x2−3x+4𝑦=𝑥2−3𝑥+4. Xác định tọa độ giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.