100 công thức giải phương trình mũ đầy đủ, chi tiết nhất (2024) và cách giải các dạng bài tập

Công thức giải phương trình mũ đầy đủ, chi tiết nhất

1. Phương trình mũ cơ bản

- Phương trình mũ cơ bản có dạng: $a^x=b\left(a>0,a\ne 1\right)$

- Cách giải:                                                          

+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa lôgarit:                  

Nếu $b\le 0$ phương trình vô nghiệm

Nếu b >0 phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$

+ Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số mũ

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=a^x$ và đường thẳng $y=b$ là nghiệm của phương trình $a^x=b$

- Nhìn vào đồ thị ta thấy rõ ràng:

Khi $b\le 0$ thì 2 đồ thị không cắt nhau tức phương trình vô nghiệm

Khi $b>0$ hai đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất $x={\log }_{a}b$

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

VD1. Giải các phương trình sau:

a. $2^{x^2-4x}=\frac{1}{8}$

b.$2,5^{2x-3}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+1}$ 

c. $7^{x-1}=2^x$

Lời giải:

a.

$$\begin{gathered} 2^{x^2-4x}=\frac{1}{8}\iff 2^{x^2-4x}=2^{-3} \\ \iff x^2-4x=-3 \\ \iff x^2-4x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=1;x=3$

b.

$$\begin{gathered} 2,5^{2x-3}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+1} \\ \iff {\left(\frac{5}{2}\right)}^{2x-3}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-x-1} \\ \iff 2x-3=-x-1\iff x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{2}{3}$

c. 

$$\begin{gathered} 7^{x-1}=2^x\iff \frac{7^x}{7}=2^x \\ \iff {\left(\frac{7}{2}\right)}^x=7\iff x={\log }_{\frac{7}{2}}7 \end{gathered}$$

b. Đặt ẩn phụ

VD2. Giải các phương trình sau:

a. $4^x-{3.2}^x+2=0$

b. $9^{x+1}-{6.3}^{x-1}-7=0$

c. ${4.9}^x+{12}^x-{3.16}^x=0$

Lời giải:

a. 

$$\begin{gathered} 4^x-{3.2}^x+2=0 \\ \iff {\left(2^x\right)}^2-{3.2}^x+2=0 \end{gathered}$$

Đặt $t=2^x,\left(t>0\right)$. Phương trình trở thành

$t^2-3t+2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=2\end{array}\right.$

Với $t=1\Rightarrow 2^x=1\iff x=0$

Với $t=2\Rightarrow 2^x=2\iff x=1$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=0;x=1$

b.

$$\begin{gathered} 9^{x+1}-{6.3}^{x-1}-7=0 \\ \iff {9.9}^x-6.\frac{3^x}{3}-7=0 \\ \iff 9.{\left(3^x\right)}^2-{2.3}^x-7=0 \end{gathered}$$

Đặt $t=3^x,\left(t>0\right)$.

Phương trình trở thành:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c.

$$\begin{gathered} {4.9}^x+{12}^x-{3.16}^x=0 \\ \iff 4.{\left(\frac{9}{16}\right)}^x+{\left(\frac{12}{16}\right)}^x-3=0 \\ \iff 4.{\left[{\left(\frac{3}{4}\right)}^x\right]}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x-3=0 \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c. Lôgarit hóa (lôgarit 2 vế)

VD3. Giải các phương trình sau

a. $2^x{.3}^{x^2}=1$

b. $8^{\frac{x}{x+2}}={36.3}^{2-x}$

Lời giải:

a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được:

b.

d. Đánh giá hàm số

VD4. Giải các phương trình sau

a. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=x-\frac{1}{2}$

b. $9^x+2\left(x-2\right){.3}^x+2x-5=0$

Lời giải:

a. Xét hàm số: $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-x+\frac{1}{2}$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.\ln \frac{1}{2}-1<0$.

Suy ra hàm số nghịch biến

Do đó: $x<1\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(1\right)=0$;

$x>1\Rightarrow f\left(x\right)<f\left(1\right)=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 1

b.  

3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. $0,5^{2x-3}=1$

b. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}=9$

c. $5^{x^2-3x+2}=25$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. $3^{2x-1}+9^x=108$

b. ${25}^x-5^x-56=0$

c. $5^{2x}-7^x+7^x.17-5^{2x}.17=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. $2^{-x}=3x+10$

b. $5^x{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}=50$

c. $x^{2\log x}=10x$

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. $2^{-x}=3x+10$

b. $3^x=11-x$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a. ${3.4}^x-{2.6}^x=9^x$

b. $2^x-{3.2}^{-x}=2$

c. $-8^x+{2.4}^x+2^x-2=0$