100 công thức về tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng 

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:

$$\begin{gathered} S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n \\ =\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \end{gathered}$$

Trong đó: u1 là số hạng đầu tiên của cấp số cộng

                 d là công sai của cấp số cộng

2. Công thức

Tổng n số hạng đầu tiên $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$ hoặc $S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

Tổng của số hạng thứ k đến số hạng thứ n của dãy (với k < n):

S = uk +  uk+1 +  uk+2 + … +  un = Sn – Sk-1

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u5 = –15; u20 = 60.

a) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u21 +  u22 +  u23 + … +  u200.

Lời giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

u20 – u5 = u1 + 19d – u1 – 4d = 15d.

Khi đó: 15d = 60 – (– 15) = 75. Suy ra: d = 5.

Ta có: $u_5=u_1+4d=-15\iff u_1=-15-4d=-35$.

a) Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$$\begin{gathered} S_{20}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \\ =\frac{20\left[2.\left(-35\right)+19.5\right]}{2}=250 \end{gathered}$$

b) $S_{200}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

$=\frac{200\left[2.\left(-35\right)+199.5\right]}{2}=92500$

S = u21 +  u22 +  u23 + … +  u200 = S200 – S20 = 92 500 – 250 = 92 250.

Ví dụ 2:  Cho cấp số cộng (un) có dạng un = 4n – 1.

a) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u1 +  u4 +  u7 + u10 +  u13 + … +  u301.

Lời giải

Ta có u1 = 4.1 – 1 = 3 và d = un+1 – un = 4(n + 1) – 1 – (4n – 1) = 4

a) Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

$$\begin{gathered} S_{100}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \\ =\frac{100\left[2.3+99.4\right]}{2}=20100 \end{gathered}$$

b) Dãy số là (vn): u1;  u4;  u7; u10; …  u301 là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 và công sai d’ = u4 – u1 = 3d = 12.

Dãy (vn) có $\frac{301-1}{3}+1=101$ số hạng

$\begin{array}{l}S=u_1+u_4+u_7+u_{10}+u_{13}+\dots {+}^{ }{u}_{301}\\ =\frac{101.\left[2.3+100.12\right]}{2}=60903.\end{array}$