100 công thức về mối liên hệ các tập hợp số (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp giải về mối liên hệ các tập hợp số chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

1. Các tập hợp

- Tập hợp của các số tự nhiên: quy ước kí hiệu là N:N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ..}.

- Tập hợp của các số nguyên: quy ước kí hiệu là N: N= {..., -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ...}. Tập hợp số nguyên bao gồm các phân tử là các số tự nhiên và các phần tử đối của các số tự nhiên.

- Tập hợp của các số nguyên dương kí hiệu là N*ℕ* : N*ℕ* = {1; 2; 3; 4;… }

- Tập hợp của các số hữu tỉ, được quy ước kí hiệu là Q: Q = {a∈Z,b∈Z,b≠0∣∣ab}𝑎∈ℤ,𝑏∈ℤ,𝑏≠0𝑎𝑏. Một số hữu tỉ có thể được biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp của các số thực được quy ước kí hiệu là R. Mỗi số được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được ta gọi là một số vô tỉ. Tập hợp các số vô tỉ được quy ước kí hiệu là I. Tập hợp của các số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

2. Mối quan hệ các tập hợp số

R=Q∪IN⊂Z⊂Q⊂Rℝ=ℚ∪𝐼ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

- Các tập hợp con thường gặp của tập hợp số thực

Kí hiệu −∞−∞ đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng), kí hiệu +∞+∞ đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng)

+ Khoảng:

(a; b) = {x∈R∈ℝ | a < x < b}

(a;+∞+∞ ) = {x ∈R∈ℝ| a < x}

(−∞−∞; b) = {x ∈R∈ℝ| x < b}

+ Đoạn:

[a;b]={x∈R|a≤x≤b}[𝑎;𝑏]={𝑥∈ℝ|𝑎≤𝑥≤𝑏}

+ Nửa khoảng:

[a; b) = {x∈R∈ℝ | a ≤≤ x < b}

(a; b] = {x ∈R∈ℝ| a < x ≤≤ b}

[a; +∞+∞) = {x ∈R∈ℝ| a ≤≤ x}

(−∞−∞; b] = {x ∈R∈ℝ| x ≤≤ b}

R=(-∞;+∞)ℝ=(-∞;+∞)

II. Các công thức

- Tập hợp của các số tự nhiên N: = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ..}.

- Tập hợp của các số nguyên Z: = {...; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ...}.

- Tập hợp của các số nguyên dương N*ℕ*: = { 1; 2; 3; 4;… }

- Tập hợp của các số hữu tỉ: Q = {a∈Z,b∈Z,b≠0∣∣ab}𝑎∈ℤ,𝑏∈ℤ,𝑏≠0𝑎𝑏. Số hữu tỉ là số có thể được biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp các số vô tỉ là I. Số vô tỉ là số được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

- Tập hợp của các số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

- Mối quan hệ các tập hợp số

R=Q∪II⊂RN*⊂N⊂Z⊂Q⊂Rℝ=ℚ∪𝐼𝐼⊂ℝℕ*⊂ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

- Khoảng:

(a; b) = {x ∈R∈ℝ| a < x < b}

(a;+∞+∞ ) = {x ∈R∈ℝ| a < x}

(−∞−∞; b) = {x ∈R∈ℝ| x < b}

- Đoạn:

[a;b]={x∈R|a≤x≤b}[𝑎;𝑏]={𝑥∈ℝ|𝑎≤𝑥≤𝑏}

- Nửa khoảng:

[a; b) = {x∈R∈ℝ | a ≤≤ x < b}

(a; b] = {x∈R∈ℝ | a < x ≤≤ b}

[a; +∞+∞) = {x∈R∈ℝ | a ≤≤ x}

(−∞−∞; b] = {x∈R∈ℝ | x ≤≤ b}

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Liệt kê tất cả phần tử của tập hợp B={x∈Z∣∣6x2−5x+1=0}𝐵=𝑥∈ℤ|6𝑥2−5𝑥+1=0

Lời giải:

Xét phương trình: 6x2−5x+1=06𝑥2−5𝑥+1=0 có : Δ=(−5)2−4.6.1=1𝛥=(−5)2−4.6.1=1 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−(−5)+√12.6=12∉Zx1=−(−5)−√12.6=13∉Z⇒B=∅𝑥1=−(−5)+12.6=12∉ℤ𝑥1=−(−5)−12.6=13∉ℤ⇒𝐵=∅

Bài 2: Cho x=34𝑥=34, xác định các tập hợp số mà nó thuộc vào.

Lời giải:

Có x=34=0,75⇒x∈Q𝑥=34=0,75⇒𝑥∈ℚ

Mà Q⊂Rℚ⊂ℝ nên ta có: x∈R𝑥∈ℝ

Vậy x=34𝑥=34 thuộc vào tập số hữu tỉ và thuộc vào tập số thực.

Bài 3: Biểu diễn tập hợp nghiệm của các bất phương trình sau dưới dạng khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.

a) 3x + 9 > 2x – 8

b) 4x – 2 ≤≤ 9 – 2x

c) 4 – 2x ≤≤ 5x ≤≤ 6 – 2x

Lời giải:

a) 3x + 9 > 2x – 8

⇔⇔ 3x – 2x > – 8 – 9

⇔⇔ x > – 17

Vậy x(−17;+∞)(−17;+∞)

b) 4x – 3 ≤≤ 9 – 2x

⇔⇔ 4x + 2x ≤≤ 9 + 3

⇔⇔ 6x ≤≤ 12

⇔x≤2⇔𝑥≤2

Vậy x∈(-∞;2]𝑥∈(-∞;2]

c) 4 – 2x ≤≤ 5x ≤≤ 6 – 2x

⇔{4−2x≤5x5x≤6−2x⇔{4≤7x7x≤6⇔{47≤xx≤67⇔47≤x≤67⇔4−2𝑥≤5𝑥5𝑥≤6−2𝑥⇔4≤7𝑥7𝑥≤6⇔47≤𝑥𝑥≤67⇔47≤𝑥≤67

Vậy x∈[47;67]𝑥∈47;67

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:

a) B={x∈Q∣∣x2−5x+6=0}𝐵=𝑥∈ℚ|𝑥2−5𝑥+6=0

b) [-3; 1) ∪∪ (0; 4]

Bài 2: Cho phương trình −x2+7x+5=0−𝑥2+7𝑥+5=0. Xác định tập hợp số mà các nghiệm của phương trình thuộc vào.