Lý thuyết Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai

Bài toán: Tìm m để f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn:

f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Phương pháp giải:

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Với a = 0. (Nếu a ≠ 0 thì bỏ qua trường hợp này).

Trường hợp 2. Với a ≠ 0. Khi đó f(x) là tam thức bậc hai.

⦁ f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆<0\end{array}\right.$

⦁ f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ $\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆\le 0\end{array}\right.$

⦁ f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ ∆<0\end{array}\right.$

⦁ f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ ∆\le 0\end{array}\right.$

Chú ý:

− Ta có thể dùng Δ’ = b’2 – ac với  thay cho Δ khi b là số chẵn.

− Xét f(x) = ax2 + bx + c.

   Khi đó f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

   Các dạng còn lại tương tự.

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai x2 + (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x2 + (m + 1)x + 2m + 3 có hệ số a = 1 > 0.

Ta có Δ = (m + 1)2 – 4(2m + 3) = m2 – 6m – 11.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆<0\end{array}\right.$

⇔ m2 – 6m – 11 < 0  (do a = 1 > 0)

Vậy với $3-2\sqrt{5}<m<3+2\sqrt{5}$ thì x2 + (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ ℝ.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình  x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 có hệ số a = 1 > 0

Ta có Δ’ = (m – 2)2 – (2m – 1) = m2 – 6m + 5.

Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ thì  $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆\text{'}\le 0\end{array}\right.$

⇔ m2 – 6m + 5 ≤ 0 (do a = a > 0)

⇔ 1 ≤ m ≤ 5.

Vậy với 1 ≤ m ≤ 5 bất phương trình x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số    xác định với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) xác định với mọi x ∈ ℝ khi g(x) = (m – 1)x2 – 2(m – 2)x + 2 – m > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Trường hợp 1. Ta có m – 1 = 0 ⇔ m = 1.

Khi đó g(x) > 0 ⇔ 2x + 1 > 0 $\iff x>‐\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ).

Trường hợp 2. Ta có m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó g(x) là tam thức bậc hai.

g(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆\text{'}<0\end{array}\right.$

   $\iff \left\{\begin{array}{l}m-1>0\\ ∆\text{'}={\left[‐\left(m-2\right)\right]}^2-\left(m-1\right)\left(2-m\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ 2m^2-7m+6<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \frac{3}{2}<m<2\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}<m<2$

Vậy $\frac{3}{2}<m<2$  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≤ 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≤ 0 vô nghiệm ⇔ x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆\text{'}<0\end{array}\right.$

⇔ ∆’ = (m – 2)2 – (2m – 1) < 0 (do a = 1 > 0)

⇔ m2 – 6m + 5 < 0

⇔ 1 ≤ m ≤ 5

Vậy với 1 ≤ m ≤ 5 bất phương trình đã cho vô nghiệm.