Lý thuyết Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù)

* Định nghĩa:

- Tam giác nhọn là tam giác có ba góc nhọn (góc nhọn có số đo lớn hơn 0° và nhỏ hơn 90°).

- Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc có số đo bằng 90°).

- Tam giác tù là tam giác có một góc tù (góc tù có số đo lớn hơn 90° và nhỏ hơn 180°).

- Tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau.

- Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau.

* Sử dụng định lí côsin; định lí sin; định lí Pythagore; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết, ta tính được số đo các góc hoặc biết được hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.

* Chú ý: Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của góc α đều mang dấu dương.

Nếu α là góc tù thì sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0 và cot α < 0.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C = 2sin Bcos A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-c^2}{2bc}$ .

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow \sin B=\frac{b}{2R} ; \sin C=\frac{c}{2R}$

Từ đó ta có: sinC = 2sinBcosA

$$\begin{gathered} \iff \frac{c}{2R}=2.\frac{b}{2R}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \iff c^2=b^2+c^2-a^2\Rightarrow a=b \end{gathered}$$

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:

a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a² < b² + c²;

b) Góc A vuông khi và chỉ khi a² = b² + c²;

c) Góc A tù khi và chỉ khi a² > b² + c².

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-c^2}{2bc}$

a) Từ  a² < b² + c² ⇔ b² + c² – a² > 0 ⇔ cos A > 0 ⇔ Góc A là góc nhọn.

b) Từ  a² = b² + c² ⇔ b² + c² – a² = 0 ⇔ cos A = 0 ⇔ Góc A là góc vuông.

c) Từ  a² > b² + c² ⇔ b² + c² – a² < 0 ⇔ cos A < 0 ⇔ Góc A là góc tù.