Lý thuyết Ứng dụng để giải các bài toán thực tế

Bài toán: Ứng dụng phương trình quy về phương trình bậc hai để giải các bài toán thực tế.

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt ẩn cho đại lượng cần tìm và biểu diễn các đại lượng liên quan.

Bước 2. Lập phương trình biểu diễn các giả thiết.

Bước 3. Giải phương trình và kết luận.

Ví dụ 1. Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường (hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải:

Vận tốc của bạn Minh: v1 = 5 km/h.

Vận tốc của bạn Hùng: v2 = 15 km/h.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(0,2\right)}^2-{\left(0,05\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{20}$ (km)

Gọi BC = x (km), x > 0.

Suy ra: $CH=BH-BC=\frac{\sqrt{15}}{20}-x, x\le \frac{\sqrt{15}}{20}$.

Ta cần xác định vị trí điểm C để Minh và Hùng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia.

Nghĩa là: ta cần tìm x để thời gian hai bạn di chuyển đến C là bằng nhau.

Thời gian Hùng đi từ B đến C là: $t_2=\frac{S_{BC}}{v_2}=\frac{x}{15}$ (h).

Đổi 50 m = 0,05 km. Quãng đường AC mà Minh đã đi là:

$AC=\sqrt{C{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{15}}{20}-x\right)}^2+{\left(0,05\right)}^2}$

Thời gian Minh đã đi từ A đến C là:

$t_1=\frac{S_{AC}}{v_1}=\frac{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{20}-x}\right)}^2-{\left(0,05\right)}^2}}{5}$ (h).

Để thời gian hai bạn di chuyển đến C là bằng nhau thì

$\frac{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{20}-x}\right)}^2+{\left(0,05\right)}^2}}{5}=\frac{x}{15}$

$\iff {\sqrt{\left(\frac{\sqrt{15}}{20}-x\right)}}^2+{\left(0,05\right)}^2=\frac{x}{3}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{20}-x\right)}^2+{\left(0,05\right)}^2=\frac{x^2}{9}$

$\iff 9\left(\frac{3}{80}-\frac{\sqrt{15}}{10}x+x^2\right)+\frac{9}{400}=x^2$

$\iff 8x^2-\frac{9\sqrt{15}}{10}x+\frac{63}{200}=0$

$\left[\begin{array}{c}x\approx 0,3\\ x\approx 0,1\end{array}\right]$

Vì 0 < x ≤ $\frac{\sqrt{15}}{20}$$\approx 0,19$ nên $x\approx 0,1$ thỏa mãn.

Vậy hai bạn Minh và Hùng di chuyển đến vị trí C cách điểm B một đoạn khoảng 0,1 km = 100 m.