Lý thuyết Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài toán 1. Cho đường tròn (C): (x – a${)}^2$ + (y – b${)}^2$ = $R^2$ có tâm I(a; b) và bán kính R, điểm M(x0; y0) thuộc vào đường tròn (C). Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M của đường tròn (C).

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{IM}$

Bước 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆.

Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên ∆ vuông góc với IM.

Tiếp tuyến ∆ của (C) là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{IM}$ làm vectơ pháp tuyến.

Bài toán 2. Cho đường tròn (C): (x – a${)}^2$+ (y – b${)}^2$ = $R^2$. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đi qua điểm N(x0; y0) của đường tròn (C).

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện các cách sau:

Cách 1. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆.

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến ∆ đi qua điểm N(x0; y0) của đường tròn (C) có phương trình là:

y – y­0 = k(x – x0) hay kx – y – kx0 + y0 = 0 (*).

Bước 2. Sử dụng công thức d(I, ∆) = R ta tính được k.

Bước 3. Thay k vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C).

Cách 2. Gọi $\overrightarrow{n}\left(A;B\right)$ (với $A^2$ + $B^2$ ≠ 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến ∆ đi qua điểm N(x0; y0) của đường tròn (C) có phương trình là:

A(x – x0) + B(y – y0) = 0.

Bước 2. Sử dụng công thức d(I, ∆) = R ta tìm được biểu thức liên hệ giữa A và B.

Bước 3. Chọn B, ta được A, thay vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C).

Ví dụ 1. Cho đường tròn (C): $x^2$ + $y^2$ – 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(1; 5). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) suy ra $\overrightarrow{IA}=\left(0;3\right)$$=3\left(0;1\right)$

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A, khi đó d đi qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}\left(0;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng d là y – 2 = 0.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (C): $x^2$ + $y^2$ – 4 = 0 và điểm A(–1; 2). Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và có bán kính R = 2.

Đường thẳng Δ qua A(–1; 2) có phương trình là:

y – 2 = k(x + 1) hay kx – y + k + 2 = 0.

Để Δ tiếp xúc với (C) tại A thì d(O, Δ) = R.