Lý thuyết Chứng minh đẳng thức vectơ
• Để chứng minh đẳng thức vectơ, ta thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:
- Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).
- Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.
- Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.
• Ta thường sử dụng các quy tắc sau để biến đổi:
- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C ta luôn có .
- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có .
- Quy tắc trung điểm: với I là trung điểm của AB. Với M là một điểm bất kì ta luôn có .
- Quy tắc trọng tâm: với G là trọng tâm của tam giác ABC.
- Sử dụng các tính chất của phép cộng, phép trừ hai vectơ.
...
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác đó. Điểm M tùy ý, chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(vì G là trọng tâm ∆ABC nên )
Vậy .
Chú ý: Sau này, ta được sử dụng luôn đẳng thức trên để giải quyết các bài toán liên quan.
Phát biểu: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với M là một điểm bất kì ta luôn có .
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó từ tính chất trọng tâm ta suy ra:
.
