Lý thuyết Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Cho phép thử T có không gian mẫu Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức

$P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$

trong đó n(Ω) và n(E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E.

Phương pháp tính xác suất của biến cố E theo định nghĩa cổ điển:

Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu là n(Ω).

Bước 2. Tính số phần tử của biến cố E là n(E).

Bước 3. Tính xác suất theo công thức: $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$

? Chú ý:

– Với mỗi biến cố E, ta có 0 ≤ P(E) ≤ 1.

– Với biến cố chắc chắn (là tập Ω), ta có P(Ω) = 1.

– Với biến cố không thể (là tập Ø), ta có P(Ø) = 0.

– Với biến cố E, ta có  $P\left(E\right)=1-P\left(\overline{E}\right)$

Ví dụ 1. Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất các biến cố sau:

a) A: 'Mặt lẻ xuất hiện';

b) B: 'Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3';

c) C: 'Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2'.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu là: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Suy ra n(Ω) = 6.

a) Biến cố A: “Mặt lẻ xuất hiện”

Các phần tử của biến cố A là: {1; 3; 5}. Suy ra n(A) = 3.

Do đó $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

b) B: 'Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3'.

Các phần tử của biến cố B là: {3; 6}. Suy ra n(B) = 2.

Do đó $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

c) C: 'Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2'.

Các phần tử của biến cố C là: {3; 4; 5; 6}. Suy ra n(C) = 4.

Do đó

Ví dụ 2. Từ hộp chứa 15 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy được khác màu.

Hướng dẫn giải:

Chọn 2 quả cầu trong 20 quả cầu, suy ra số phần tử không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{20}^2=190$

Gọi A là biến cố: 'Lấy được hai quả cầu khác màu'.

Chọn 1 quả cầu xanh và 1 quả cầu đỏ có $C_{15}^1.C_5^1=75$  cách. Do đó, n(A) = 75.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{75}{190}=\frac{15}{38}$

Ví dụ 3. Một lô hàng có 10 sản phẩm cùng loại, trong đó có 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 6 sản phẩm đi kiểm định. Tính xác suất để có nhiều nhất một phế phẩm.

Hướng dẫn giải:

Chọn 6 sản phẩm trong 10 sản phẩm, suy ra số phần tử không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{10}^6=210$

Số sản phẩm đạt chuẩn là: 10 – 2 = 8 (sản phẩm).

Gọi A là biến cố: “Có nhiều nhất một phế phẩm”.

Trường hợp 1: Chỉ có 1 phế phẩm

⦁ Có $C_8^5$  cách chọn 5 sản phẩm đạt chuẩn;

⦁ Có $C_2^1$  cách chọn 1 phế phẩm.

→ Có $C_8^5.C_2^1=112$  cách chọn 6 sản phẩm sao cho chỉ có 1 phế phẩm.

Trường hợp 2: Không có phế phẩm nào

→ Có $C_8^6=28$  cách chọn 6 sản phẩm đều đạt chuẩn.

Vậy có 112 + 28 = 140 cách chọn. Do đó, n(A) = 140.

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{140}{210}=\frac{2}{3}$

Ví dụ 4. Một lớp học có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn. Cần chọn ra 5 học sinh. Tính xác suất học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số nữ ít hơn số nam.

Hướng dẫn giải:

Tổng số học sinh của lớp học là: 15 + 10 = 25.

Chọn ra 5 học sinh từ 25 học sinh của lớp. Suy ra, số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_{25}^5=53 130$

Gọi biến cố A: “Có cả nam lẫn nữ và số nữ ít hơn số nam”.

Trường hợp 1: có 1 nữ, 4 nam

⦁ Có $C_{10}^1$  cách chọn 1 bạn nữ

⦁ Có $C_{15}^4$  cách chọn 4 bạn nam

→ Có $C_{10}^1.C_{15}^4=13 650$  cách chọn.

Trường hợp 2: 2 nữ, 3 nam

⦁ Có $C_{10}^2$  cách chọn 2 bạn nữ

⦁ Có $C_{15}^3$  cách chọn 4 bạn nam

→ Có $C_{10}^2.C_{15}^3=20 475$  cách chọn.

Vậy có 13 650 + 20 475 = 34 125 cách chọn. Do đó, n(A) = 34 125.

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{34 125}{53 130}=\frac{325}{506}$

Ví dụ 5. Có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo 1 hàng dọc. Tính xác suất để người đứng ở đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam.

Hướng dẫn giải:

Tổng số học sinh là: 7 + 5 = 12. Xếp tất cả học sinh theo 1 hàng dọc.

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 12!

Gọi biến cố A: “Người đứng ở đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam”

– Chọn 2 bạn nam từ 7 học sinh nam và xếp vào vị trí đầu hàng và cuối hàng có: $A_5^2$  cách;

– Xếp 10 bạn còn lại vào 10 vị trí còn lại có: 10! cách.

Vậy có .10! cách xếp. Do đó,

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{A_5^2.10!}{12!}=\frac{5}{33}$

Ví dụ 6. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số khác được chọn từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

a) Xác định số phần tử của S.

b) Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi  là số có ba chữ số đôi một khác nhau (a ≠ 0).

Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S là tập các số có ba chữ số khác nhau được chọn từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=A_7^3=210$

b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chẵn”.

⦁ c ∈ {2; 4; 6}. Có 3 cách chọn c.

⦁ Chọn 2 trong 6 số còn lại xếp vào 2 vị trí có: $A_6^2$  cách.

Có  số chẵn. Do đó, n(A) = 90.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$

Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt, trên đường thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên ba điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b. Tính xác suất để ba điểm được chọn tạo thành một tam giác.

Hướng dẫn giải:

Có tất cả: 6 + 5 = 11 (điểm).

Chọn ngẫu nhiên ba điểm trong 11 điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b. Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_{11}^3=165$

Gọi biến cố A: “Ba điểm được chọn tạo thành một tam giác”

Ba điểm tạo thành một tam giác khi 3 điểm đó không thẳng hàng.

Trường hợp 1: chọn 1 điểm trên đường thẳng a và 2 điểm trên đường thẳng b

⦁ Có $C_6^1$  cách chọn 1 điểm trên đường thẳng a

⦁  Có $C_5^2$  cách chọn 2 điểm trên đường thẳng b

→ Có $C_6^1.C_5^2=60$  cách.

Trường hợp 2: chọn 2 điểm trên đường thẳng a và 1 điểm trên đường thẳng b

⦁ Có $C_6^2$  cách chọn 2 điểm trên đường thẳng a

⦁ Có $C_5^1$  cách chọn 1 điểm trên đường thẳng b

→ Có $C_6^2.C_5^1=75$  cách.

Vậy có 60 + 75 = 135 cách chọn 3 điểm tạo thành tam giác. Do đó, n(A) = 135.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{135}{165}=\frac{9}{11}$