Lý thuyết Xác định các cạnh và góc chưa biết trong tam giác

• Để xác định độ dài các cạnh và số đo các góc chưa biết trong tam giác, ta sử dụng nhuần nhuyễn và kết hợp các kiến thức về định lí côsin, hệ quả của định lí côsin, định lí sin, hệ quả của định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác để từ giả thiết bài toán ta suy ra kết luận các yếu tố cần tìm.

• Một số kiến thức cần lưu ý:

+) Định lý côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c.

Ta có:

a² = b² + c² − 2bc.cosA;

b² = a² + c² − 2ac.cosB;

c² = a² + b² − 2ab.cosC.

+) Hệ quả định lí côsin:

$$\begin{gathered} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos B=\frac{a+c^2-b^2}{2ac} \\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{gathered}$$

+) Định lý sin:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có , AC = 7 và AB = 10. Tính độ dài của cạnh BC và các góc B, C của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Theo định lý côsin, ta có:

BC² = AB² + AC² −2.AB.AC.cosA = 7² + 10² −2.7.10.cos112° ≈ 201,44.

Vậy$BC\approx \sqrt{201,44}\approx 14,19$ .

Theo hệ quả của định lý cô sin, ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}\approx \frac{{10}^2+14,{19}^2-7^2}{2.10.14,19}\approx 0,98$

Suy ra $\widehat{B }\approx 27°7\text{'}$ .

Ta có:$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°\iff \hat{C}=180°-(\hat{A}+\hat{B})$

Do đó:$\hat{C}=40°53\text{'}$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có $\hat{A}=60°$,$\hat{B}=87°$, BC = 15. Tính độ dài cạnh AB,  AC của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Đặt a = BC, b = AC, c = AB.

Ta có a = 15.

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có: