Lý thuyết Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x₀; y₀) là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

– Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}2x-y-3\le 0\\ 2x-y+2\le 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Xét bất phương trình 2x – y – 3 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 2x – y – 3 = 0 và 2.0 – 0 – 3 = –3 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y – 3 ≤ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – y – 3 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình 2x – y + 2 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 2x – y + 2 = 0 và 2.0 – 0 + 2 = 2 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y + 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – y + 2 = 0 và không chứa điểm (0; 0).

Do đó, miền không gạch chéo (kể cả bờ) trong hình vẽ là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Xét bất phương trình 3x + y ≤ 6 hay 3x + y – 6 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 3x + y – 6 = 0 và 3.0 + 0 – 6 = –6 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng có kể bờ 3x + y – 6 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình x + y ≤ 4 hay x + y – 4 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x + y – 4 = 0 và 0 + 0 – 4 = –4 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình  x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có kể bờ x + y – 4 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình x ≥ 0 có:

Điểm (1; 0) không nằm trên đường thẳng x = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ x = 0 và chứa điểm (1; 0).

Xét bất phương trình y ≥ 0 có:

Điểm (0; 1) không nằm trên đường thẳng y = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ y = 0 và chứa điểm (0; 1).

Miền không gạch chéo (tứ giác OABC) trong hình vẽ là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.