Lý thuyết Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước

a. Số trung bình

- Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

- Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Khi đó, công thức trung bình trở thành:

$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+...+n_k{x}_n}{n}$

Trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k. Ta gọi n là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu $f_k=\frac{n_k}{n}$  là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x_k trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn $\overline{x}$ = f₁x₁ + f₂x₂ + … + f_kx_k.

b. Trung vị và tứ phân vị

- Trung vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Trung vị của mẫu, kí hiệu là M_e, là giá trị ở chính giữa dãy x₁, x₂, …, x_n.

Cụ thể:

+ Nếu n = 2k + 1, k ∈ ℕ, thì trung vị của mẫu M_e = x_k+1.

+ Nếu n = 2k, thì trung vị của mẫu M_e = (x_k + x_k+1).

- Tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q₃). Ba giá trị này chia tập hợp đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau.

Cụ thể:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị của mẫu.

+ Giá trị phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

c. Mốt

Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M₀.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Ví dụ 1: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A được thống kê trong bảng dưới đây:

a) Tính số điểm trung bình của các học sinh trên.

b) Tìm mốt trong bảng thống kê trên.

Hướng dẫn giải:

a) Điểm trung bình của các học sinh lớp 10A là:

$\overline{x}=\frac{7.12+8.15+9.8+10.5}{15+15+8+5}=8,15$.

b) Ta thấy số học sinh đạt điểm 8 lớn hơn số học sinh đạt điểm 7, 9, 10. Do đó mốt của mẫu số liệu trên là 8.

Vậy M₀ = 8.

Ví dụ 2: Cho các mẫu số liệu sau:

a) 8; 6; 1; 6; 10; 3; 8; 2; 11; 15; 12.

b) 2; 9; 7; 12; 10; 6; 8; 15.

Tính trung vị và tứ phân vị của các mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 3; 6; 6; 8; 8; 10; 11; 12; 15.

Vì cỡ mẫu là n = 11 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 6. Tức là M_e = 8.

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 8.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 3; 6; 6.

Do đó Q₁ = 3.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 10; 11; 12; 15.

Do đó Q₃ = 11.

b) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 15

Vì cỡ mẫu là n = 8 nên trung vị của mẫu số liệu trên là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và 5. Tức là M_e = $\frac{8+9}{2}=8,5$ .

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 8,5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 6; 7; 8.

Do đó Q₁ =$\frac{6+7}{2}=6,5$ .

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 10; 12; 15.

Do đó Q₃ = $\frac{10+12}{2}=11$ .