Lý thuyết Lập phương trình đường tròn

Bài toán 1. Viết phương trình đường tròn (C) khi biết tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R.

→ Phương trình đường tròn (C) khi biết tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R là:

(x – a${)}^2$ + (y – b${)}^2$ = $R^2$.

Bài toán 2. Viết phương trình đường tròn (C) khi biết tọa độ các điểm mà đường tròn đi qua.

→ Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng là $x^2$ + $y^2$ – 2ax – 2by + c = 0 (với $a^2$ + $b^2$ – c > 0) (*).

Bước 2. Thay tọa độ các điểm đã biết vào phương trình (*) để thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.

Bước 3. Giải hệ phương trình để tìm được a, b, c.

Bước 4. Thay các hệ số a, b, c vừa tìm được vào phương trình (*) và kết luận.

Chú ý: Ta có thể giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng:

$x^2$ + $y^2$ + 2ax + 2by + c = 0 (với $a^2$ + $b^2$ – c > 0)

Bài toán 3. Lập phương trình đường tròn (C) sử dụng điều kiện tiếp xúc

→ Để giải được bài toán này ta cần dựa vào tính chất tiếp tuyến:

⦁ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ thì d(I, Δ) = R.

⦁ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ tại điểm A thì d(I, Δ) = IA = R.

⦁ Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ${∆}_1$ và ${∆}_2$ thì d(I, ${∆}_1$) = d(I, ${∆}_2$) = R.

Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5 có dạng:

(x – 1${)}^2$ + (y – 2${)}^2$ = 25.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2) và C(1; –3).

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng $x^2$ + $y^2$– 2ax – 2by + c = 0 (với $a^2$ + $b^2$ – c > 0).

Đường tròn (C) đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2) và C(1; –3) nên ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $x^2$ + $y^2$ – 6x + y – 1 = 0.