Lý thuyết Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP hoặc hệ số góc và 1 điểm đi qua

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng d khi biết VTPT hoặc VTCP hoặc hệ số góc và đi qua điểm M(x0; y0).

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định yêu cầu đề bài cần viết phương trình tổng quát hay phương trình tham số.

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng d khi biết VTPT hoặc VTCP hoặc hệ số góc và đi qua điểm M(x0; y0).

⦁ Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ và đi qua điểm M(x0; y0) có phương trình tổng quát là:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0.

⦁ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ và đi qua điểm M(x0; y0) có phương trình tham số là:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_1.t\\ y=y_0+u_2.t\end{array}\right.$

⦁ Đường thẳng d có hệ số góc k và đi qua điểm M(x0; y0) có phương trình là:

y = k(x – x0) + y0.

Chú ý:

⦁ Cho đường thẳng d có VTPT  $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ và đi qua điểm M(x0; y0), yêu cầu viết phương trình tham số của đường thẳng d. Trước tiên, ta cần xác định VTCP của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=\left(‐b;a\right)$ hoặc $\overrightarrow{u}=\left(b;‐a\right)$, sau đó viết phương trình tham số của đường thẳng d như ở Bước 2.

⦁ Tương tự, cho đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ ta cũng xác định được VTPT của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=\left(u_2;‐u_1\right)$  hoặc $\overrightarrow{n}=\left(‐u_2;u_1\right)$  Khi đó ta viết được phương trình tổng quát của đường thẳng d như ở Bước 2.

Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(‐1;2\right)$

Hướng dẫn giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(‐1;2\right)$  là: –1(x – 2) + 2(y – 1) = 0.

Tức là –x + 2 + 2y – 2 = 0 hay –x + 2y = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(‐1;2\right)$ là:  –x + 2y = 0.

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(5; –3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;‐2\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(5; –3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;‐2\right)$  là: $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=‐3-2t\end{array}\right.$ .