Lý thuyết Ứng dụng hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp vào các bài toán đếm

- Với một tập hợp gồm n phần tử và số tự nhiên k với k ≤ n:

+ Số các hoán vị của tập hợp là

Pn = n(n – 1)(n – 2)…1 = n!.

+ Số các chỉnh hợp chập k của n là

$A_n^k=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)...\left(n-k+1\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\left(1\le k\le n\right)$.

+ Số các tổ hợp chập k của n là

$C_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!} \left(0\le k\le n\right)$.

- Chỉnh hợp và tổ hợp cùng chọn ra một số phần tử trong một tập hợp, nhưng chỉnh hợp sắp xếp các phần tử có thứ tự, còn tổ hợp chọn không xếp thứ tự các phần tử

$A_n^k=k!.C_n^k$.

Ví dụ 1. Tổ 1 có 13 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để các học sinh của tổ 1 xếp thành 1 hàng?

Hướng dẫn giải:

Số cách để các học sinh của tổ 1 xếp thành 1 hàng là: P­13 = 13! (cách).

Ví dụ 2. Câu lạc bộ cầu lông có 20 thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách bầu trưởng câu lạc bộ và phó câu lạc bộ từ 20 thành viên của câu lạc bộ?

Hướng dẫn giải:

Số cách bầu trưởng và phó câu lạc bộ là: $A_{20}^2=380$ (cách).

Ví dụ 3. Anh Minh đến thành phố A du lịch. Thành phố A có 9 địa điểm tham quan nổi tiếng. Hỏi anh Minh có bao nhiêu cách chọn lịch trình cho mình, biết anh chỉ có thể đi du lịch tại 5 địa điểm?

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn lịch trình của anh Minh là: $C_9^5=126$ (cách).