Lý thuyết Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế

Để giải bài toán ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình giải các bài toán thực tế, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt ẩn cho đại tượng cần tìm và các biểu diễn các đại lượng liên quan.

Bước 2. Dựa vào giả thiết, lập bất phương trình bậc hai tương ứng.

Bước 3. Giải bất phương trình bậc hai dựa vào định lí dấu của tam thức bậc hai.

Bước 4. Kết luận.

Ví dụ 1. Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình vẽ).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm2. Rãnh nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng–ti–mét?

Hướng dẫn giải:

Gọi kích thước của mặt cắt ngang là x (cm) và 32 – 2x (cm).

Khi đó diện tích mặt cắt ngang là S(x) = x(32 – 2x) (cm2)

Diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm2 khi và chỉ khi x(32 – 2x) ³ 120

⇔ –2x2 + 32x – 120 ³ 0

⇔ x Î [6; 10]

Vậy rãnh nước phải có độ cao ít nhất 6 cm.

Ví dụ 2. Một công ty bình gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là x nghìn đồng thì doanh thu R (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là

R(x) = –560x2 + 50 000x.

a) Theo mô hình doanh thu này thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 (tức là không có người mua)?

b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng?

Hướng dẫn giải:

a) Doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 tức là

R(x) = –500x2 + 50 000x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 89

Vậy theo mô hình đã cho, với đơn giá 89 nghìn đồng thì công ty không có doanh thu. (Đơn giá quá cao dẫn đến không có người mua hàng)

b) Doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng, tức là

–560x2 + 50 000x > 1 000 000

⇔ 56x2 – 5 000x + 100 000 < 0

⇔ 30,25 < x < 59,04

Vậy với đơn giá của bình đựng nước khoảng 31 nghìn đồng đến 59 nghìn đồng thì doanh thu vượt mức 1 tỉ đồng.

Ví dụ 3. Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm O (0; 0) và bia mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng MN với M (2 100; 25) và N (2 100; 15).

Xạ thủ cần xác định parabol y = –a2x2 + 10ax (a > 0) mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu. Tìm giá trị lớn nhất của a để xạ thủ đạt được mục đích trên.

Hướng dẫn giải:

Tại vị trí x = 2 100, độ cao của viên đạn là:

y = –a2.2 1002 + 10a.2 100 = –4 410 000a2 + 21 000a

Viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi a thoả mãn các bất phương trình sau: 

$2100\le \frac{10}{a}$ (5);

–4 410 000a2 + 21 000a £ 25 (6);

–4 410 000a2 + 21 000a ³ 15 (7)

Giải (5): $2100\le \frac{10}{a}$ ⇔ $\frac{10}{a}$ ⇔ $\frac{1}{a}\ge 210$$\iff a\le \frac{1}{210}$.

                Vì a > 0 nên a Π$\left(0;\frac{1}{210}\right)$.

Giải (6): –4 410 000a2 + 21 000a £ 25

           ⇔ 4 410 000a2 – 21 000a + 25 ³ 0

           ⇔ (2 100a – 5)2 ³ 0.

Bất phương trình này đúng 'a > 0.

Giải (7): –4 410 000a2 + 21 000a ³ 15

           ⇔ 4 410 000a2 – 21 000a + 15 £ 0

          $\iff \frac{1}{420}-\frac{\sqrt{10}}{2100}\le a\le \frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}$

         $\iff a\in \left[\frac{1}{420}-\frac{\sqrt{10}}{2100};\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}\right]$

Do $\frac{1}{420}-\frac{\sqrt{10}}{2100}>0$ và $\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}<\frac{1}{210}$ 

Nên $\left(0;\frac{1}{210}\right)\cap \left(\frac{1}{420}-\frac{\sqrt{10}}{2100};\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}\right)=\left[\frac{1}{420}-\frac{\sqrt{10}}{2100};\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}\right]$

Vì thế, viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi $a\in \left[\frac{1}{420}-\frac{\sqrt{10}}{2100};\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}\right]$ 

Vậy giá trị lớn nhất của a là $\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}$.