Lý thuyết Xác định dạng và tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có một trong các dạng sau:

+) ax + by + c < 0

+) ax + by + c > 0

+) ax + by + c ≤ 0

+) ax + by + c ≥ 0

Trong đó: a, b, c là những số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

– Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Xét bất phương trình ax + by + c < 0. Mỗi cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ là một nghiệm của hệ. 

Ví dụ 1: Trong các hệ bất phương trình sau, đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}5x+y-9=0\\ 2x-3y-2=0\end{array}\right.$;

c)$\left\{\begin{array}{l}y-9<0\\ 2x+2>0\end{array}\right.$;

d) $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

a)

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ có:

3x + y – 1 ≤ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x – y + 2 ≥ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b)

Xét hệ  có:$\left\{\begin{array}{l}5x+y-9=0\\ 2x-3y+2=0\end{array}\right.$

5x + y – 9 = 0 không là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x – 3y + 2 = 0 không là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó $\left\{\begin{array}{l}5x+y-9=0\\ 2x-3y+2=0\end{array}\right.$ không là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c)

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}y-9<0\\ 2x+2>0\end{array}\right.$ có:

y – 9 < 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x + 2 > 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}y-9<0\\ 2x+2>0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d)

Xét hệ  $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ có:

5x + y ≥ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x ≥ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

y – 7 < 0 là là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 2. Cặp số (x; y) = (4; 5) có phải là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ không ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét từng bất phương trình của hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ với cặp số (x; y) = (4; 5) ta có:

5.4 + 5 = 25 ≥ 0

2.4 = 8 ≥ 0

5 – 7 = –2 < 0

Suy ra cặp số (x; y) = (4; 5) đều thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đã cho.

Do đó, cặp số (x; y) = (4; 5) là một nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$