Lý thuyết Tập con. Hai tập hợp bằng nhau
- Tập hợp con:
+ Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B, kí hiệu là A ⊂ B (đọc là A chứa trong B), hoặc B ⊃ A (đọc là B chứa A).
+ Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu A ⊄ B (đọc là A không chứa trong B hoặc B không chứa A.
A ⊂ B ⇔ ∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B.
A ⊄ B ⇔ ∃x: x ∈ A ⇒ x ∉ B.
Lưu ý:
+ ∅ ⊂ A, với mọi tập hợp A.
+ A ⊂ A, với mọi tập hợp A.
+ Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.
+ Tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ). Khi đó, tập A có 2n tập con.
+ Nếu A ⊂ B hoặc B ⊂ A thì ta nói A và B là quan hệ bao hàm.
- Hai tập hợp bằng nhau:
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu A ⊂ B và B ⊂ A. Nói cách khác, hai tập hợp A và B bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là phần tử của tập hợp kia.
A = B ⇔ (∀x: x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Ví dụ 1: Tìm tất cả các tập con của tập A = {1; 2; 3}.
Hướng dẫn giải:
Ta thấy tập hợp A có 3 phần tử.
Vậy tập A có 23 = 8 tập con.
Ta có:
+ Các tập con có 0 phần tử: ∅.
+ Các tập con có 1 phần tử: {1}, {2}, {3}.
+ Các tập con có 2 phần tử: {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}.
+ Các tập con có 3 phần tử: {1; 2; 3}.
Ví dụ 2: Cho hai tập hợp sau:
A là tập hợp các số tự nhiên chẵn lớn hơn 0 và bé hơn hoặc bằng 10.
B là tập hợp các số tự nhiên là bội của 2 và bé hơn hoặc bằng 10.
Hai tập hợp trên có bằng nhau không?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
+ A là tập hợp các số tự nhiên chẵn lớn hơn 0 và bé hơn hoặc bằng 10 nên tập hợp A gồm các phần tử là 2; 4; 6; 8; 10.
Do đó, A = {2; 4; 6; 8; 10}.
+ B là tập hợp các số tự nhiên là bội của 2 và bé hơn hoặc bằng 10 nên tập hợp B gồm các phần tử là 0 ; 2; 4; 6; 8; 10.
Do đó, B = {0; 2; 4; 6; 8; 10}.
Vì mỗi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B nên A ⊂ B.
Mà ta có 0 ∈ B nhưng 0 ∉ A, do đó B ⊄ A.
Vậy hai tập hợp A và B không bằng nhau.