Lý thuyết Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác

Để tính giá trị và rút gọn các biểu thức lượng giác, ta sử dụng định nghĩa, các tính chất, các hệ thức lượng giác và bảng giá trị của một số góc đặc biệt để tính và biến đổi các biểu thức đã cho.

• Một số kiến thức cần lưu ý:

+ Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- Của 2 góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα (α ≠ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° < α < 180°).

- Của 2 góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);

cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).

+ Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

+ Một số hệ thức lượng giác cơ bản.

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta đều có:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } (a\ne 90°); cot\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } (0°<\alpha <180°);$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\tan \alpha .cot\alpha =1 (0°<\alpha <180°,\alpha \ne 90°)$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha } (\alpha \ne 90°)$

$1+co{t}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha } (0°<\alpha <180°)$

Ví dụ 1.Tính $A=\sin 60°+ \cos 150°- cot45°$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$A=4\sin 60°+3cot150°-cot45°=4.\frac{\sqrt{3}}{2}+3.(‐\frac{\sqrt{3}}{2})-1=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức

$B=\cos 0°+\cos 20°+\cos 40°+...+\cos 160°+\cos 180°$

Hướng dẫn giải: