Lý thuyết Sử dụng phương pháp tổ hợp

Phương pháp tính xác suất của biến cố E theo định nghĩa cổ điển:

− Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu là n(Ω).

− Bước 2. Tính số phần tử của biến cố E là n(E).

− Bước 3. Tính xác suất theo công thức $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$

Để tính số phần tử của không gian mẫu và biến cố E trong Bước 1, Bước 2, ta có thể sử dụng phương pháp tổ hợp, tức là sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp.

Chú ý: Ta sử dụng phương pháp tổ hợp trong một số trường hợp không liệt kê cụ thể được các phần tử.

Ví dụ 1. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ.

Hướng dẫn giải:

Tổng số học sinh trong tổ là: 6 + 4 = 10 (học sinh).

Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 10 học sinh trong tổ. Suy ra $n\left(\Omega \right)=C_{10}^4=210$.

Gọi A là biến cố: “Trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”.

Có $C_6^4=15$ cách chọn 4 học sinh nam.

⇒ Có 210 – 15 = 195 cách chọn 4 học sinh luôn có học sinh nữ. Do đó, n(A) = 195.

Vậy xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{195}{210}=\frac{13}{14}$.

Ví dụ 2. Một lớp có 30 học sinh trong đó gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Người ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi dự Đại Hội. Tính xác suất để chọn được:

a) Ba học sinh được chọn đều là học sinh giỏi.

b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi.

Hướng dẫn giải:

Chọn ngẫu nhiên 3 em từ 30 học sinh để đi dự Đại Hội. Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$

a) A: “Chọn 3 học sinh là học sinh giỏi”

Có $C_8^3$ cách chọn 3 em là học sinh giỏi. Suy ra $n\left(A\right)=C_8^3$

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_8^3}{C_{30}^3}=\frac{2}{145}$

b) B: “Chọn 3 học sinh có ít nhất một học sinh giỏi”.

$\overline{B}$: “ Chọn 3 học sinh không có học sinh giỏi nào”.

Có $C_{32}^3$ cách chọn 3 học sinh không có học sinh giỏi nào. Suy ra $n\left(\overline{B}\right)=C_{22}^3$

Suy ra: $n\left(B\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{B}\right)=C_{30}^3-C_{22}^3$

Vậy xác suất của biến cố B là: $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30}^3-C_{22}^3}{C_{30}^3}=\frac{18}{29}$ 

Ví dụ 3. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O”. Suy ra $n\left(\Omega \right)=C_{20}^4=4 845$.

Gọi A là biến cố: “4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”.

Đa giác đều có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ nhật nên số hình chữ nhật là: $n\left(A\right)=C_{10}^2=45$

Xác suất biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{45}{4 845}=\frac{3}{323}$

Ví dụ 4. Hai bạn lớp A và hai bạn lớp B được xếp vào 4 ghế sắp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.

Hướng dẫn giải:

Có 4! cách xếp bất kỳ 4 bạn thành hàng ngang. Suy ra, $n\left(\Omega \right)=4!$

Gọi biến cố A: “Các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau”.

Có 2.2!.2! cách xếp 4 bạn sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.

Do đó: $n\left(A\right)=2.2!.2!$

Xác suất cần tìm là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2.2!.2!}{4!}=\frac{1}{3}$