Lý thuyết Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

- Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu: ∀ x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu: ∀ x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

- Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = x² trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = x² trên khoảng (–∞; 0).

Lấy x₁, x₂ tùy ý sao cho x₁ < x₂, ta có: f(x₁) – f(x₂) = x₁² – x₂² = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂)

Do x₁ < x₂  nên x₁ – x₂ < 0 và do x₁, x₂ thuộc (–∞; 0) nên x₁ + x₂ < 0.

Từ đó suy ra: f(x₁) – f(x₂) > 0 hay f(x₁) > f(x₂)

Do đó, khi x₁ < x₂   thì f(x₁) > f(x₂)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (–∞; 0).

Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng (–3; –2), (–2; 5), (5; 7).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số có đồ thị như hình trên, từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [– 3; 7]. Ta có:

+ Trên khoảng (–3; –2), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; –2).

+ Trên khoảng (–2; 5), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 5).

+ Trên khoảng (5; 7), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (5; 7).