Lý thuyết Xác định các biến cố, mối liên hệ giữa các biến cố, biến cố đối

Các khái niệm:

– Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan đến phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

– Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu Ω. Tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

– Biến cố chắc chắn là tập Ω, biến cố không thể là tập Ø.

– Biến cố đối của biến cố E là biến cố “E không xảy ra”. Biến cố đối của E được kí hiệu $\overline{E}$

Để mô tả, xác định số phần tử của biến cố, ta có thể thực hiện hai cách sau:

+ Cách 1. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố đó;

+ Cách 2. Sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp để tính số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

? Chú ý: Ta chỉ dùng Cách 1 để xác định xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố đó nếu số kết quả là  hữu hạn và đếm được.

Xác định biến cố đối của biến cố E bằng cách mô tả biến cố “E không xảy ra”. Tập $\overline{E}$là phần bù của tập E trong không gian mẫu: $\overline{E}=C_{\Omega }^E$

Ví dụ 1. Xét phép thử T tung con xúc xắc 6 mặt một lần và biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ” và biến cố C: “Số chấm xuất hiện trên mặt là số nguyên tố”. Hãy mô tả biến cố B và C.

Hướng dẫn giải:

Khi gieo một con xúc xắc, các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện trên con xúc xắc là: 1 chấm; 2 chấm; 3 chấm; 4 chấm; 5 chấm; 6 chấm.

⦁ Biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ”

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là B = {1; 3; 5}.

⦁ Biến cố C: “Số chấm xuất hiện trên mặt là số nguyên tố”

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố C là C = {2; 3; 5}.

Ví dụ 2. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả năm lần ngửa thì dừng lại. Xác định các biến cố:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”;

B: “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu mặt sấp là S, mặt ngửa là N.

⦁ Biến cố A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

Các trường hợp có thể xảy ra là: gieo 1 lần; gieo 2 lần hoặc gieo 3 lần (lần gieo cuối là mặt sấp).

A = {S; NS; NNS}.

⦁ Biến cố B: “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”

Các trường hợp có thể xảy ra là: gieo 3 lần; gieo 4 lần; gieo 5 lần (lần gieo cuối là mặt sấp) và gieo 5 lần đều ngửa.

B = {NNS; NNNS; NNNNS; NNNNN}.

Ví dụ 3. Một lớp có 15 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Gọi A là biến cố: “Lập một đội văn nghệ của lớp gồm 7 học sinh trong đó nhất thiết phải có học sinh nữ”. Hãy mô tả biến cố đối của biến cố A (Giả thiết rằng học sinh nào cũng có khả năng văn nghệ).

Hướng dẫn giải:

Biến cố đối của biến cố A: “7 học sinh trong đội văn nghệ đều là nam”.

Ví dụ 4. Gieo một con xúc xắc 2 lần.

Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A = {(6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)};

B = {(2; 6); (6; 2); (3; 5); (5; 3); (4; 4)};

C = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

Hướng dẫn giải:

Biến cố A: “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm”.

Biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện bằng 8”.

Biến cố C: “Số chấm xuất hiện ở 2 lần gieo giống nhau”.

Ví dụ 5. Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất.

a) Hãy tìm một biến cố chắc chắn và một biến cố không thể liên quan đến phép thử.

b) Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử.

c) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên 3 con xúc xắc là số lẻ”?

Hướng dẫn giải:

a) Biến cố “Tổng số chấm lớn hơn 2” là biến cố chắc chắn.

Biến cố “Tích số chấm bằng 70” là biến cố không thể.

b) Không gian mẫu là: Ω = {(i; j; k) | 1 ≤ i, j, k ≤ 6; i, j, k ∈ ℕ}.

c) Tích số chấm là lẻ khi số chấm trên mỗi con xúc xắc đều là số lẻ.

Số chấm lẻ có thể xuất hiện trên mỗi con xúc xắc là: {1 chấm, 3 chấm, 5 chấm}.

Do đó kết quả thuận lợi cho biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên 3 con xúc xắc là số lẻ” là: 3.3.3 = 27.

Ví dụ 6. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của

a) Không gian mẫu;

b) Các biến cố:

A: “4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”;

B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”;

C: “4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

Hướng dẫn giải:

a) Tổng số viên bi trong hộp là: 6 + 8 + 10 = 24 (viên).

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_{24}^4=10 626$

b) – Biến cố A: “4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.

+ Có $C_{10}^2$ cách chọn 2 viên bi màu trắng.

+ Có $C_{14}^2$ cách chọn 2 viên bi khác màu trắng.

Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng hai viên bi màu trắng là: $C_{10}^2.C_{14}^2=4 095$

Vậy số phần tử của biến cố A là n(A) = 4 095.

– Biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

Biến cố đối của B là $\overline{B}$: “4 viên bi lấy ra không có viên bi nào màu đỏ”

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là $C_{18}^4$.

Do đó số cách lấy 4 viên bi mà có ít nhất một viên bi màu đỏ là: $C_{24}^4-C_{18}^4=7 566$

Vậy số phần tử của biến cố B là n(B) = 7 566.

– Biến cố C: “4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

Có 3 trường hợp thỏa mãn:

Trường hợp 1: 2 viên màu đỏ, 1 viên màu xanh, 1 viên màu trắng

⇒ Có $C_6^2.C_8^1.C_{10}^1=1 200$ cách lấy.

Trường hợp 2: 1 viên màu đỏ, 2 viên màu xanh, 1 viên màu trắng

⇒ Có $C_6^1.C_8^2.C_{10}^1=1 680$ cách lấy.

Trường hợp 3: 1 viên màu đỏ, 1 viên màu xanh, 2 viên màu trắng

⇒ Có $C_6^1.C_8^1.C_{20}^2=2 160$ cách lấy.

Do đó có 1 200 + 1 680 + 2 160 = 5 040 cách lấy ra 4 viên bi có đủ 3 màu.

Vậy số phần tử của biến cố C là n(C) = 5 040.

Ví dụ 7. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính số phần tử của các biến cố:

a) A: “Số được chọn chia hết cho 5”;

b) B: “Số được chọn có đúng 2 chữ số lẻ và và hai chữ số lẻ không đứng kề nhau”.

Hướng dẫn giải:

Gọi $\overline{abcd}$ là số có bốn chữ số đôi một khác nhau và thỏa yêu cầu bài toán (a ≠ 0).

Số cần tìm được tạo từ 10 chữ số: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

a) Số chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Trường hợp 1: d = 5

⦁ a ≠ 0 nên a có 8 cách chọn (a ≠ d ≠ 5).

⦁ Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để xếp vào 2 vị trí có: $A_8^2$ cách chọn.

Có $8.A_8^2=448$ (số).

Trường hợp 2: d = 0

+ Chọn 3 trong 9 chữ số còn lại để xếp vào 3 vị trí có: $A_9^3$ cách chọn.

Có $A_9^3=504$ (số).

Vậy có 448 + 504 = 952 số chia hết cho 5 nên n(A) = 952.

b) Cách 1. Chọn từ 5 chữ số lẻ ra 2 chữ số lẻ và sắp theo thứ tự trên hàng ngang, có $A_5^2=20$ cách.

Với mỗi cách xếp trên ta xem như có 3 khoảng trống được tạo ra (một khoảng trống ở giữa và hai khoảng trống ở hai đầu).

Chọn ra 2 trong 5 chữ số chẵn và xếp vào 2 trong 3 ô trống đó (mỗi ô 1 chữ số) để được số thỏa yêu cầu đề bài, có $C_5^2.A_3^2-C_4^1=56$ cách.

Suy ra n(B) = 20.56 = 1 120.

Cách 2. Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Chỉ có chữ số a, c là chữ số lẻ: có $A_5^2.A_5^2=400$ số;

Trường hợp 2. Chỉ có chữ số a, d là chữ số lẻ: có $A_5^2.A_5^2=400$ số;

Trường hợp 3. Chỉ có chữ số b, d là chữ số lẻ: có $A_5^2.4.4=320$ số.

Suy ra n(B) = 400 + 400 + 320 = 1 120.