Lý thuyết Tìm công thức của hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số

* Một số kiến thức cần lưu ý:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

- Có đỉnh S với hoành độ x_S = $‐\frac{b}{2a}$, tung độ y_S = $‐\frac{∆}{4a}$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = $‐\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy nếu b ≠ 0, trùng với trục Oy nếu b = 0);

- Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

- Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh S$\left(‐\frac{b\text{'}}{a}; ‐\frac{∆\text{'}}{a}\right)$;

- Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.

* Phương pháp xác định công thức hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị hàm số, xác đinh tọa độ đỉnh, điểm đi qua, trục đối xứng, ... của parabol, từ đó sử dụng các kiến thức tương ứng để xác định hệ số của hàm số, từ đó suy ra công thức hàm số.  

Ví dụ 1: Cho hàm số y = ax²  + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị là parabol trong hình dưới. Xác định hàm số đó.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh S(1; 1) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

 $‐\frac{b}{2a}=1$(2); $‐\frac{∆}{4a}=1\iff ‐\frac{b^2-4ac}{4a}=1$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $‐\frac{b^2-4a.2}{4a}=1\iff ‐b^2+8a=4a\iff ‐b^2+4a=0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–2a)² + 4a = 0 ⇔ –4a² + 4a = 0

⇔ 4a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{c}a=0 \left(L\right)\\ a=1\left(TM\right)\end{array}\right]$ 

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số cần tìm là: y = x²  – 2x + 2.

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c (a ≠ 0) trong hình vẽ sau. Xác định hàm số đó. 

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(2; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$‐\frac{b}{2a}=2$ (2); $‐\frac{∆}{4a}=‐2\iff ‐\frac{b^2-4ac}{4a}=‐2$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $‐\frac{b^2-4a.2}{4a}=‐2\iff ‐b^2+8a=‐8a\iff ‐b^2+16a=0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–4a)² + 16a = 0 ⇔ –16a² + 16a = 0

⇔ 16a(–a + 1) = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}a=0 \left(L\right)\\ a=1 \left(TM\right)\end{array}\right]$

Với a = 1, ta có: b = –4.1 = –4

Do đó, hàm số cần tìm là: y = x²  – 4x + 2.