Lý thuyết Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol

Bài toán: Xác định các yếu tố của ba đường conic.

a) Xác định các yếu tố của Elip

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip (E) có phương trình chính tắc là

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \left(a>b>0\right)$

⦁ Tọa độ các đỉnh $A_1$(–a; 0), $A_2$(a; 0) và $B_1$(0; –b), $B_2$(0; b).

⦁ Hai tiêu điểm là $F_1$(–c; 0) và $F_2$(c; 0) với $c=\sqrt{a^2-b^2}$

⦁ Độ dài trục lớn: 2a.

   Độ dài trục bé: 2b.

• Tiêu cự: 2c.

• Tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

b) Xác định các yếu tố của Hypebol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc là

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \left(a,b>0\right)$

• Hypebol có hai tiêu điểm là $F_1$(–c; 0) và $F_2$(c; 0) với $c=\sqrt{a^2+b^2}$

• Tiêu cự: 2c.

• Giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

c) Xác định các yếu tố của Parabol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc là

$y^2$= 2px (với p > 0).

• Parabol có tiêu điểm là F $\left(\frac{p}{2};0\right)$

⦁ Đường chuẩn Δ: $x=‐\frac{p}{2}$.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Xác định tiêu điểm, tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm của elip đó.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của elip (E) ta có: a = 4, b = 3 (do a > b > 0), $c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$.

Elip (E) có:

⦁ Hai tiêu điểm là  $F_1\left(‐\sqrt{7};0\right), F_2\left(\sqrt{7};0\right)$.

⦁ Tiêu cự của elip là $2c=\sqrt{7}$.

⦁ Tổng các khoảng cách mỗi điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm là: 2a = 2.4 = 8.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$.  Xác định tiêu điểm, tiêu cự của hypebol đó.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có a = 3, b = 2 (do a, b > 0), $c=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.

Hypebol có:

⦁ Hai tiêu điểm là $F_1\left(‐\sqrt{13};0\right), F_2\left(\sqrt{13};0\right)$

⦁ Tiêu cự là $2c=\sqrt{13}$

Ví dụ 3. Cho parabol (P): y2 = 2x. Xác định đường chuẩn và tiêu điểm của parabol đó.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của parabol (P): y2 = 2x ta có 2p = 2 nên p = 1, suy ra $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$

Parabol (P) có:

⦁ Đường chuẩn là $∆: x=‐\frac{1}{2}$

⦁ Tiêu điểm là $F \left(\frac{1}{2};0\right)$