Lý thuyết Cách sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại

- Kí hiệu ∀: đọc là “với mọi” có nghĩa là tất cả các giá trị của một biến nào đó.

- Kí hiệu ∃: đọc là “tồn tại” có nghĩa là chỉ có một số giá trị hữu hạn thỏa mãn.

Một số lưu ý:

- Phủ định của mệnh đề “P(x): ∀x ∈ X” là mệnh đề ' $\overline{Px}$: ∃x ∈ X”.

- Phủ định của mệnh đề “P(x): ∃x ∈ X” là mệnh đề ' $\overline{Px}$: ∀x ∈ X”.

- Mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” đúng nếu với mọi x₀ ∈ X, P(x₀) là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” đúng nếu có x₀ ∈ X sao cho P(x₀) là mệnh đề đúng.

Ví dụ 1: Cho mệnh đề: “∀x ∈ ℕ: x + 1 > 0”.

Phát biểu thành lời mệnh đề trên và xét tính đúng sai của nó.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề trên được phát biểu như sau:

“Với mọi số tự nhiên x thì x + 1 luôn lớn hơn 0”.

Hoặc ta có thể phát biểu như sau: “Với mọi số tự nhiên thì tổng của chính nó với 1 luôn lớn hơn 0”.

Vì x là số tự nhiên nên x ≥ 0 ⇒ x + 1 > 0 (đúng).

Vì vậy mệnh đề trên đúng.

Ví dụ 2: Phát biểu và xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) “∀x ∈ ℝ: x² > 0”.

b) “∀x ∈ ℝ: x² – 2x + 1 ≥ 0”.

c) “∃x ∈ ℤ: x² – 4x + 3 = 0”.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề “∀x ∈ ℝ: x² > 0” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x thì x² luôn lớn hơn 0”.

Hoặc “Với mọi số thực thì bình phương của nó luôn dương”.

Ta có: 0 ∈ ℝ, 0² = 0.

Do đó mệnh đề trên sai.

b) Mệnh đề “∀x ∈ ℝ: x² – 2x + 1 ≥ 0” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x thì x² – 2x + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

Ta có: x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Mà bình phương của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Suy ra mệnh đề trên đúng.

c) Mệnh đề “∃x ∈ ℤ: x² – 4x + 3 = 0” được phát biểu như sau:

“Tồn tại số nguyên x để phương trình x² – 4x + 3 = 0 bằng 0”.

Hoặc “Có một số nguyên x để phương trình x² – 4x + 3 = 0 bằng 0”.

Ta có: x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3. 

Do đó tồn tại hai số nguyên x là 1 v à 3 để phương trình x2 – 4x + 3 = 0 bằng 0.

Vì vậy mệnh đề trên đúng.