Lý thuyết Cách xác định mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
- Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.
- Để xác định mệnh đề đảo, ta chỉ cần đảo vị trí hai mệnh đề P và Q với nhau.
- Cho hai mệnh đề P và Q. Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.
Kí hiệu P ⇔ Q và có thể đọc theo một số cách sau:
+ P tương đương Q;
+ P là điều kiện cần và đủ để có Q;
+ P nếu và chỉ nếu Q;
+ P khi và chỉ khi Q.
- Mệnh đề P ⇔ Q chỉ đúng nếu P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:
a) Nếu một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3.
b) Nếu một tứ giác là hình thoi thì tứ giác đó cũng là hình vuông.
c) Nếu một tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
P: “Một số chia hết cho 9”.
Q: “Số đó chia hết cho 3”.
Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:
“Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9”.
b) Ta có:
P: “Một tứ giác là hình thoi”.
Q: “Tứ giác đó cũng là hình vuông”.
Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:
“Nếu một tứ giác là hình vuông thì tứ giác đó cũng là hình thoi”.
c) Ta có:
P: “Một tam giác có ba cạnh bằng nhau”.
Q: “Tam giác đó là tam giác đều”.
Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:
“Nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba cạnh bằng nhau”.
Ví dụ 2: Cho hai mệnh đề sau:
P: “a, b là hai số tự nhiên chẵn”.
Q: “a.b là một số tự nhiên chẵn”.
Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q và xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
Hướng dẫn giải:
Mệnh đề P ⇔ Q được phát biểu như sau:
“a, b là hai số tự nhiên chẵn khi và chỉ khi a.b là một số tự nhiên chẵn”.
- Xét mệnh đề P ⇒ Q, ta có:
“Nếu a, b là hai số tự nhiên chẵn thì a.b là một số tự nhiên chẵn”.
Ta thấy mệnh đề trên đúng vì tích của hai số tự nhiên chẵn là một số tự nhiên chẵn.
Chẳng hạn a = 2, b = 4 là hai số tự nhiên chẵn ⇒ a.b = 2.4 = 8 cũng là một số tự nhiên chẵn.
- Xét mệnh đề Q ⇒ P, ta có:
“Nếu a.b là một số tự nhiên chẵn là a, b là hai số tự nhiên chẵn”.
Ta thấy mệnh đề này sai do tích của hai số tự nhiên chẵn không cần thiết hai số đó đều chẵn.
Chẳng hạn a = 2 là số tự nhiên chẵn, b = 3 là số tự nhiên lẻ
⇒ a.b = 2.3 = 6 là một số tự nhiên chẵn.
Vậy mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề sai.