Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

Để giải được bài toán trên, ta có 2 cách sau:

Cách 1. Quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình.

Bước 1. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}\right.\left(*\right)$

Bước 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

⦁ Hệ (*) có nghiệm duy nhất (x0; y0) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(x0; y0).

⦁ Hệ (*) vô nghiệm thì ∆1 song song với ∆2.

⦁ Hệ (*) vô số nghiệm thì ∆1 trùng ∆2.

Cách 2. Sử dụng vectơ pháp tuyến/ vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến (VTPT) của mỗi đường thẳng:

− Đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 → VTPT là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(a_1;b_1\right)$

− Đường thẳng d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 → VTPT là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(a_2;b_2\right)$

Bước 2. Tính giá trị a₁b₂ – a₂b₁, sau đó xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

− Nếu a₁b₂ – a₂b₁ = 0 thì $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Khi đó d_1­, d₂ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm M tùy ý trên d₁.

      ⦁ Nếu M ∈ d₂, d₁ ≡ d₂;

      ⦁ Nếu M ∉ d₂ thì d₁ // d₂.

− Nếu a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0 thì $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương.

Khi đó d₁ cắt d₂ tại một điểm có tọa độ (x₀; y₀) với (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình:

Chú ý:

− Khi phương trình hai đường thẳng cho dưới dạng phương trình tham số/ phương trình đoạn chắn thì ta cũng xét hai vectơ chỉ phương tương ứng.

− Ta chỉ xét đồng thời hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương tướng ứng của hai đường thẳng đối với Cách 2.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 2x – y + 1 = 0 và d₂: 2x – y + 5 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂.

Hướng dẫn giải:

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\ 2x-y+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=‐1\\ 2x‐y=‐5\end{array}\right.$.

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy đường thẳng d₁ song song với d₂.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁: 2x + y + 15 = 0 và d₂: x – 2y – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(2;1\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(1;‐2\right)$.

Ta có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=2.1+1.\left(‐2\right)=0$ .

Vậy d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình d₁: $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2$ và d₂: 6x – 2y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải: