Lý thuyết Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, các giá trị ngoại lệ, độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu cho trước

- Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

+ Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

+ Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q₃ và tứ phân vị thứ nhất Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

- Giá trị ngoại lệ:

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

- Phương sai và độ lệch chuẩn:

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

+ Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ ,

Trong đó $\overline{x}$  là số trung bình của mẫu số liệu.

+ Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là S. Ta có $S=\sqrt{S^2}$ .

Chú ý:

+ Ta có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

S² =$\frac{1}{n-1}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ .

+ Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

Ví dụ 1: Cho mẫu số liệu sau đây:

5; 6; 10; 8; 15; 2; 20; 17; 8; 15.

a) Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Tìm giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 5; 6; 8; 8; 10; 15; 15; 17; 20.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 2.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 20.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu là: R = 20 – 2 = 18.

Ta lại có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 6; 8; 8.

Do đó Q₁ = 6.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 15; 15; 17; 20.

Do đó Q₃ = 15.

Khi đó: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 15 – 6 = 9

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 9.

b) Ta có:

+) Q₃ + 1,5∆_Q = 15 + 1,5.9 = 28,5

+) Q₁ – 1,5∆_Q = 6 – 1,5.9 = – 7,5

Vì không có giá trị nào của x thuộc mẫu số liệu trên thỏa mãn x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q nên mẫu số liệu trên không có giá trị ngoại lệ.

Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu sau:

8; 15; 6; 20; 25; 31.

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{8+15+6+20+25+31}{6}=17,5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = [(8 – 17,5)² + (15 – 17,5)² + (6 – 17,5)² + (20 – 17,5)² + (25 – 17,5)² + (31 – 17,5)²] ≈ 78,92.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 78,92.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{78,92}$ ≈ 8,88.