Lý thuyết Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt

+) Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y₀ và hoành độ x₀ của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị với góc $\overbrace{xOM} =\alpha$ và từ đó ta có các giá trị lượng giác:

$\sin \alpha =y_0$; $\cos \alpha =x_0$; $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}$; $cot\alpha =\frac{x_0}{y_0}$.

+) Dựa vào tính chất: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau và có côsin, tang, côtang đối nhau.

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);

cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).

+) Sử dụng máy tính cầm tay.

Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\overbrace{xOM}=120°$.

Ta có: $\widehat{MOy}=120°-90°=30°$.

Ta tính được tọa độ điểm M: $\left\{\begin{array}{l}{x}_0=‐\left(OM.\sin 30°\right)=‐\left(1.\frac{1}{2}\right)=‐\frac{1}{2}\\ y_0=OM.\cos 30°=1.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$.

Hay $M\left(‐\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Vậy theo định nghĩa ta có:

$\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2}; \cos 120°=\frac{1}{2}; \tan 120°=‐\sqrt{3}; cot120°=‐\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ 2. Cho góc α = 135°. Hãy tính sinα, cosα, tanα và cotα.

Hướng dẫn giải:

Ta có sin135° = sin(180° – 45°) = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

cos135° = cos(180° – 45°) = – cos45° = $‐\frac{\sqrt{2}}{2}$;.

$\tan 135°=\frac{\sin 135°}{\cos 135°}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}=‐1$

Do đó cot135° =$\frac{\mathrm{co}t135°}{\sin 135°}=\frac{‐{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}=‐1$ .

Ví dụ 3. Cho tam giác cân DEF có $\hat{D}=\hat{E}=15°$. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc F.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\hat{F}=180°-(\hat{D}+\hat{E})=180-30=150°$.

Do đó sinF = sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = $\frac{1}{2}$;

cosF = cos150° = cos(180° − 30°)= − cos30° = $‐\frac{\sqrt{3}}{2}$;

tanF =$\frac{\sin 150°}{\cos 150°}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{‐{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}=‐\frac{\sqrt{3}}{3}$;

cotF =$\frac{\cos 150°}{\sin 150°}=\frac{‐{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=‐\sqrt{3}$.