Lý thuyết Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc hoặc song song với một đường thẳng cho trước

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(x0; y0) và song song (hoặc vuông góc) với đường thẳng d: ax + by + c = 0.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, là ${\overrightarrow{n}}_d=\left(a;b\right)$

Bước 2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆:

⦁ Nếu ∆ // d thì ∆ nhận ${\overrightarrow{n}}_d=\left(a;b\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

⦁ Nếu ∆ ⊥ d thì ∆ nhận  ${\overrightarrow{n}}_d=\left(a;b\right)$ làm vectơ chỉ phương, khi đó ∆ nhận ${\overrightarrow{n}}_{∆}=\left(‐b;a\right)$ hoặc ${\overrightarrow{n}}_{∆}\left(‐b;a\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ khi đã có vectơ pháp tuyến tìm được ở Bước 2 và biết ∆ đi qua điểm M(x0; y0) cho trước.

Chú ý:

• Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x₀; y₀) và nhận  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

• Đường thẳng đi qua điểm M(x₀; y₀) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.$

Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M(2;0) và song song với đường thẳng  $∆: \left\{\begin{array}{l}x=‐4+5t\\ y=1-t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(5;‐1\right)$.

Gọi d là đường thẳng đi qua M(2;0) và song song với Δ. Khi đó đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;5\right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(2;0) và song song với đường thẳng Δ là: 1(x – 2) + 5(y – 0) = 0 tức là x + 5y – 2 = 0.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=1+t\end{array}\right.$. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua M(0;1) và vuông góc với d.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(‐3;1\right)$.

Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d nên Δ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{∆}=\left(1;3\right)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua M(0; 1) và vuông góc với d là $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+3t\end{array}\right.$