Lý thuyết Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của biểu thức

* Từ hệ thức lượng giác cơ bản và mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.

* Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

• Một số kiến thức cần lưu ý:

+) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- Của 2 góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα (α ≠ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° < α < 180°).

- Của 2 góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);

cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).

+) Một số hệ thức lượng giác cơ bản.

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta đều có: 

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne 90°); \cos \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } (0°<\alpha <180°)$;

${\sin }^2\alpha + {\cos }^2\alpha =1$;

$\tan \alpha . \cos \alpha =1 (0°<\alpha <180°,\alpha \ne 90°)$

$$\begin{gathered} 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha } (\alpha \ne 90°); \\ 1+co{t}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha } (0°<\alpha <180°) \end{gathered}$$

+) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của góc α đều mang dấu dương.

Nếu α là góc tù thì sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0 và cot α < 0.

Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α biết sinα =  và 90° < α < 180°.

Hướng dẫn giải:

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra cosα = $‐\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=‐\sqrt{1-\frac{1}{9}}=‐\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Do đó  $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{‐{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}}=‐\frac{1}{2\sqrt{2}}$

và $cot\alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=‐2\sqrt{2}$ .

Ví dụ 2. Cho góc α với . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α.

Hướng dẫn giải:

Ta có: A = 2sin²α + 5cos²α = 2 . (1 – cos²α) + 5cos²α = 2 + 3cos²α

Với $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ , thay vào biểu thức A ta được

A = 2 + 3 .${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = 2 + 3 . $\frac{1}{2}$  =$\frac{7}{2}$ .

Vậy A =$\frac{7}{2}$ .