Lý thuyết Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(x₀; y₀) và cách điểm N(x₁; y₁) một khoảng bằng h.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1.

Bước 1. Gọi phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(x₀; y₀) và có hệ số góc k có dạng là:

y – y₀ = k(x – x₀) hay kx – y + y₀ – kx₀ = 0 (*)

Bước 2. Áp dụng công thức d(N, ∆) = h. Từ đó suy ra giá trị k cần tìm.

Bước 3. Thay giá trị k vừa tìm vào (*) ta viết được phương trình đường thẳng ∆.

Cách 2.

Bước 1. Gọi phương trình đường thẳng ∆ cần tìm có dạng ax + by + c = 0 (với a² + b² ≠ 0).

Bước 2. Đường thẳng ∆ đi qua M(x₀; y₀) tọa độ M thỏa mãn phương trình ∆.

              Ta được phương trình (1).

Bước 3. Áp dụng công thức d(N, ∆) = h. Ta được phương trình (2).

              Từ (1), (2) suy ra giá trị a, b, c cần tìm.

Bước 3. Thay giá trị a, b, c vừa tìm vào phương trình ax + by + c = 0 ta viết được phương trình đường thẳng ∆.

Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng d không đi qua A(xA; yA), B(xB; yB) và cách đều hai điểm đó.

Khi đó bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng d song song với AB hoặc viết phương trình đường thẳng d là đường trung trực của AB.

Để viết phương trình đường trung trực của AB, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm tọa độ trung điểm I(xI; yI) của AB theo công thức:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right.$

Bước 2. Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AB}$

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua I và nhận  $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2; 7) và cách N(1; 2) một khoảng bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 7) và có hệ số góc k có dạng là:

y – 7 = k(x – 2) hay kx – y + 7 – 2k = 0.

Vì ∆ cách N(1; 2) một khoảng bằng 1 nên ta có: d(N, ∆) = 1

$\iff \frac{\left|k.1-2+7-2k\right|}{\sqrt{k^2+{\left(‐1\right)}^2}}=1\iff \frac{\left|‐k+5\right|}{\sqrt{k^2+1}}=1\iff {\left(‐k+5\right)}^2={\left(\sqrt{k^2+1}\right)}^2$.

$\iff k^2+10k+25=k^2+1\iff 10k=24\iff k=\frac{12}{5}$

Vậy phương trình ∆ là: $\frac{12}{5}x-y+7-2.\frac{12}{5}=0$ hay 12x – 5y + 11 = 0.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng . Tìm điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến điểm A(0; 1) bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Điểm M(x; y) thuộc d: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=3+t\end{array}\right.$ nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d.

Gọi M(2 + 2t; 3 + t) thuộc vào đường thẳng d.

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(2+2t; 2+t\right)$ .

Theo giả thiết: AM = 5 $\iff \sqrt{{\left(2+2t\right)}^2+{\left(2+t\right)}^2}=5\iff 4+8t+4t^2+4+4t+t^2=25$  

$\iff 5t^2+12t-17=0\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t=‐\frac{17}{5}\end{array}\right.$.

Với t = 1 ta có M(4; 4).

Với $t=‐\frac{17}{5}$  ta có $M\left(‐\frac{24}{5};‐\frac{2}{5}\right)$ .

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(4; 4); $M\left(‐\frac{24}{5};‐\frac{2}{5}\right)$ .