Lý thuyết Mệnh đề phủ định

Phủ định của một mệnh đề P là một mệnh đề kí hiệu là . Hai mệnh đề P và  có tính đúng sai trái ngược nhau, tức là:

– Nếu P đúng thì  sai.

– Nếu P sai thì  đúng.

Ta có một số nguyên tắc để xác định mệnh đề phủ định của một mệnh đề như sau:

– Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không phải P”.

– Phủ định của quan hệ = là quan hệ ≠ và ngược lại.

– Phủ định của quan hệ > là quan hệ ≤ và ngược lại.

– Phủ định của quan hệ < là quan hệ ≥ và ngược lại.

– Phủ định liên kết “và” là liên kết “hoặc” và ngược lại.

– Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X; P(x)” là: “∃x ∈ X; ”.

– Mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X; ” là “∀x ∈ X; P(x) ”.

Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) P: “Mọi hình bình hành là hình chữ nhật”.

b) P: “Số chính phương có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9”.

c) P: “Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước là duy nhất”.

Hướng dẫn giải:

a) Vì mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X; P(x)” là: “∃x ∈ X; ” nên ta có mệnh đề phủ định của P là:

: “Tồn tại hình bình hành không là hình chữ nhật”.

b) Vì phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không phải P” nên ta có:

: “Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9”.

c) Vì phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không phải P” nên ta có:

: “Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước không là duy nhất”.

Ví dụ 2: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “∀n ∈ ℕ, $n^2$ + 1 không chia hết cho 7”.

Hướng dẫn giải:

Vì mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X; P(x)” là: “∃x ∈ X; ” nên ta có:

– Phủ định của ∀ là ∃.

– Phủ định của “không chia hết” là “chia hết”.

Suy ra, mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀n ∈ ℕ, $n^2$ + 1 không chia hết cho 7” là:

“∃n ∈ ℕ, n2 + 1 chia hết cho 7”.