Lý thuyết Chứng minh đẳng thức lượng giác

• Để chứng minh đẳng thức lượng giác, ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức luôn đúng đã biết.

• Một số tính chất thường dùng:

+) Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc α (0° ≤ α ≤ 180°).

+) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- Của 2 góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα (α ≠ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° < α < 180°).

- Của 2 góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);

cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).

+) Dựa vào tính chất của tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

+) Sử dụng các hệ thức

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta đều có:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne 90°); \cos \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } (0°<\alpha <180°)$;

${\sin }^2\alpha + {\cos }^2\alpha =1$;

$$\begin{gathered} 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha } (\alpha \ne 90°); \\ 1+co{t}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha } (0°<\alpha <180°) \end{gathered}$$

Chú ý: khai thác giải thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian trong quá trình biến đổi.

Ví dụ 1. Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng

sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có

Do đó: sin⁴ α − cos⁴ α = sin⁴ α – (1 – 2sin² α + sin⁴ α) = 2 sin² α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin⁴ α − sin⁴ α = (sin² α + cos² α)( sin² α − cos² α)

 = 1. [sin² α – (1 − sin² α)] = 2 sin² α − 1.

Vậy sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1

⇔ sin⁴ α − 2 sin² α + 1 − cos⁴ α = 0

⇔ (1 − sin² α)² − cos⁴ α = 0

⇔ cos⁴ α − cos⁴ α = 0  (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có $\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$  = 180°.

Suy ra: 180° −$\hat{A}$ =$\hat{B}$ +$\hat{C}$ .

Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).

Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau).

Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).

Vậy đẳng thức được chứng minh.