Lý thuyết Xác định hệ số a, b, c khi biết các tính chất của hàm số bậc hai

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ (P) có đỉnh I(x₀; y₀) ⇔ x₀ = $-\frac{b}{2a}$, y₀ = $-\frac{∆}{4a}$ (với ∆ = b² – 4ac) (hoặc y₀ = ax₀² + bx₀ + c);

+ (P) có trục đối xứng là đường thẳng x = x₀ ⇔ x₀ = $-\frac{b}{2a}$;

+ Bề lõm của (P) quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b' thì (P) có đỉnh I$\left(-\frac{b\text{'}}{a};-\frac{∆\text{'}}{a}\right)$ (với ∆' = (b')² – ac).

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (x₁; 0) và (x₂; 0).

+ Nếu M(x₀; y₀) ∈ (P) ⇔ y₀ = ax₀² + bx₀ + c.

+ Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c có f(m) = n, f(k) = h, f(t) = z (với m, n, k, h, t, z là các số thực) thì ta thay lần lượt m, k, t vào f(x) và cho bằng n, h, k, giải hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c để xác định a, b, c.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = ax²  – 4x + c có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh S(–2; 7) và cắt trục tung tại điểm (0; 3). Xác định các hệ số a, b, c của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = ax²  – 4x + c  có b = – 4.

Đồ thị hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên ta có: a < 0

Đồ thị có đỉnh S(–2; 7) nên ta có: $‐\frac{b}{2a}=-2\iff \frac{‐(‐4)}{2a}=‐2\iff ‐4a=4\iff a=‐1$ (thỏa mãn điều kiện).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 3) nên ta có: c = 3

Vậy hàm số y = ax²  – 4x + c có a = –1; b = –4; c = 3.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = ax²  + bx + c có đồ thị là parabol trong hình dưới. Xác định các hệ số a, b, c.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh S(1; 1) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$‐\frac{b}{2a}=1$ (2); $‐\frac{∆}{4a}=1\iff ‐\frac{b^2- 4ac}{4a}=1$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $‐\frac{b^2-4a.2}{4a}=1\iff ‐b^2+8a=4a\iff ‐b^2+4a=0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–2a)² + 4a = 0 ⇔ –4a² + 4a = 0

⇔ 4a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{c}a=0 \left(L\right)\\ a=1\left(TM\right)\end{array}\right]$ 

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số y = ax²  + bx + c  có a = 1, b = –2, c = 2