Lý thuyết Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế

Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và cuộc sống, chẳng hạn:

+ Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những hình ảnh về đường parabol.

+ Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng mặt trời, bóng của một quả bóng, nhìn chung là một elip.

+ Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh hypebol.

+ Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol.

+ Trong vũ trụ bao la, ánh sáng đóng vai trò sứ giả truyền tin. Ánh sáng phát ra từ một thiên thể sẽ mang những thông tin về nơi nó xuất phát. Khi nhận được ánh sáng, các nhà khoa học sẽ dựa vào đó để nghiên cứu, khám phá thiên thể. Trong thiên văn học, các gương trong kính thiên văn giúp nhà khoa học nhận được hình ảnh quan sát rõ nét hơn, ánh sáng thu được có các chỉ số phân tích rõ hơn.

+ Anten vệ tinh parabol là thiết bị thu tín hiệu truyền về từ vệ tinh.Tín hiệu sau khi gặp parabol bị hắt lại và hội tụ về điểm thu được đặt lại tiêu điểm của parabol.

+ Đèn pha đáy parabol giúp ánh sáng có thể phát xa (chẳng hạn giúp đèn ô tô có thể chiếu xa). Ánh sáng xuất phát từ vị trí tiêu điểm của parabol, chiếu vào đáy đèn, các tia sáng bị hắt lại thành các tia sáng nằm trên các đường thẳng song song.

+ Trong y học, để tán sỏi thận người ta có thể dùng chùm tia laser phát ra từ một tiêu điểm của gương elip để sau khi phản xạ sẽ hội tụ tại tiêu điểm còn lại cũng chính là vị trí sỏi.

+ Tháp giải nhiệt hình hypebol trong lò phản ứng hạt nhân hay trong nhà máy nhiệt điện có kiến trúc đảm bảo độ vững chãi, tiết kiệm nguyên vật liệu và giúp quá trình tỏa nhiệt được thuận lợi.

+ Bằng các quan sát và phân tích thiên văn, người ta đưa ra định luật nói rằng các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo quỹ đạo là các đường elip nhận tâm Mặt trời là tiêu điểm.

Bài toán: Ứng dụng ba đường conic vào thực tế.

Để giải được bài toán trên, ta mô tả bài toán dưới hình vẽ của ba đường conic gắn với hệ trục tọa độ Oxy, sau đó dựa vào các yếu tố của ba đường conic để giải bài toán.

Ví dụ 1. Hình dưới đây là một tấm giấy hình chữ nhật kích thước 12 dm × 8 dm, trên đó có một đường tròn và hai nhánh của một hypebol. Tính tiêu cự của hypebol.

Hướng dẫn giải:

Xây dựng hệ trục toạ độ như hình trên, trong đó 1 dm ứng với 1 đơn vị.

Gọi hypebol đã cho là (H):  $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với a, b > 0.

Tấm bìa có kích thước 12 × 8, ta thấy đường kính của đường tròn là 8 nên bán kính R = 4.

Ta có điểm A’(4; 0) là đỉnh của (H) nên a = 4, do đó (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Điểm M(6; 4) ∈ (H) nên ta có $\frac{36}{16}-\frac{16}{b^2}=1$, suy ra $b^2=\frac{64}{5}$ .

Ta có $c^2=a^2+b^2=16+\frac{64}{5}=\frac{144}{5}$  Do đó $c=\frac{12}{\sqrt{5}}$

Vậy hypebol có tiêu cự là $2c=2.\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{24\sqrt{5}}{5}$  tương ứng với $\frac{24\sqrt{5}}{5}$dm

Ví dụ 2. Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng 4 m, độ dài trục nhỏ bằng 2 m. Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân OAB (tham khảo hình vẽ) với điểm O là tâm của Elip, các điểm A và B thuộc đường Elip nói trên. Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Giả sử (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Do 2a = 4 nên a = 2. Do 2b = 2 nên b = 1.

Khi đó phương trình đường Elip là (E): $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.