Lý thuyết Giải bất phương trình bậc hai

a) Định nghĩa:

– Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng:

ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0,

trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a ≠ 0.

– Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0, nếu ax02  + bx0 + c > 0.

Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

– Giải bất phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó.

b) Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:

Bước 1. Xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c.

Bước 2. Tìm các khoảng mà tam thức f(x) = ax2 + bx + c có dấu phù hợp với yêu cầu và kết luận.

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:

a) –3x2 + 2x + 1 < 0.

b) x2 + x – 12 ≤ 0.

Hướng dẫn giải:

a) Xét f(x) = –3x2 + 2x + 1

f(x) = –3x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc $x=‐\frac{1}{3}$

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là $S=\left(-\infty ;‐\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

b) Xét f(x) = x2 + x – 12

f(x) = x2 + x – 12 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = –4.

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là S = [–4; 3].

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

a) (1 – 2x)(x2 – x – 1) > 0.

b) $\frac{x^2-1}{\left(x^2-3\right)\left(‐3x^2+2x+8\right)}>0$

c) $x^2+10\le \frac{2x^2+1}{x^2-8}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: (1 – 2x)(x2 – x – 1) = 0

$\iff \begin{array}{c}1-2x=0\\ x^2-x-1=0\end{array}\iff \begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

$\left(-\infty ;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cap \left(\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

b) $\frac{x^2-1}{\left(x^2-3\right)\left(‐3x^2+2x+8\right)}>0$

Ta có:

x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1

x2 – 3 = 0 ⇔ x = $\pm \sqrt{3}$

–3x2 + 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc $x=‐\frac{4}{3}$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\sqrt{3};‐\frac{4}{3}\right)\cup \left(‐1;1\right)\cup \left(\sqrt{3};2\right)$

c) Bất phương trình $x^2+10\le \frac{2x^2+1}{x^2-8}$ tương đương với

$\frac{2x^2+1}{x^2-8}-\left(x+10\right)\ge 0$

$\iff \frac{2x^2+1-\left(x^2-8\right)\left(x^2+10\right)}{x^2-8}\ge 0$

$\iff \frac{81-x^4}{x^2-8}\ge 0$

$\iff \frac{\left(9-x^2\right)\left(9+x^2\right)}{\left(x^2-8\right)}\ge 0$

$\iff \frac{9-x^2}{x^2-8}\ge 0$ (vì x2 + 9 ≥ 0 với mọi x)

Ta có  9 – x2 = 0 ⇔ x = ±3

           x2 – 8 = 0 ⇔ x = $\pm 2\sqrt{2}$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[\left(‐3;‐2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2};3\right)\right]$