Lý thuyết Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế
– Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
– Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, biểu thị điều kiện đề bài đưa ra trong một tình huống nào đó… Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x; y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.
Ví dụ 1. Bác Lan trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Lan cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất ? Biết rằng bác Lan chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
Hướng dẫn giải:
Gọi x là số hecta đất trồng ngô và y là số hecta đất trồng đậu xanh nên ta có: x ≥ 0, y ≥ 0.
Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên x + y ≤ 8.
Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên 20x + 30y ≤ 180.
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc.
Bất phương trình x + y ≤ 8 hay x + y – 8 ≤ 0 có: Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x + y – 8 = 0 và 0 + 0 – 8 = –8 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 8 là nửa mặt phẳng có kể bờ x + y – 8 = 0 và chứa điểm (0; 0).
Bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 hay 20x + 30y – 180 ≤ 0 có: Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 20x + 30y – 180 = 0 và 20.0 + 30.0 – 180 = –180 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 là nửa mặt phẳng có kể bờ 20x + 30y – 180 = 0 và chứa điểm (0; 0).
Bất phương trình x ≥ 0 có: Điểm (1; 0) không nằm trên đường thẳng x = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ x = 0 và chứa điểm (1; 0).
Bất phương trình y ≥ 0 có: Điểm (0; 1) không nằm trên đường thẳng y = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ y = 0 và chứa điểm (0; 1)
Miền màu trắng trong hình vẽ là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
Ta thu được miền tứ giác OABC. Tọa độ các đỉnh tứ giác đó là O(0; 0), A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0).
Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Lan thu được, ta có: F = 40x + 50y.
Ta có:
Tại O(0; 0) thì F = 40.0 + 50.0 = 0
Tại B(6; 2) thì F = 40.6 + 50.2 = 340
Tại A(0; 6) thì F = 40.0 + 50.6 = 300
Tại C(8; 0) thì F = 40.8 + 50.0 = 320
Vậy F đạt giá trị lớn nhất tại B(6; 2).
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Lan cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.
Ví dụ 2. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800 000 đồng, trên sóng truyền hình là 4 000 000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16 000 000 đồng cho quảng cáo. Hãy lập bất phương trình mô tả chi phí đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình của công ty đó và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
Hướng dẫn giải:
Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x phút, trên truyền hình là y phút. Chi phí cho việc quảng cáo là: 800 000x + 4 000 000y (đồng)
Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa là 16 000 000 đồng nên ta có: 800 000x + 4 000 000y ≤ 16 000 000
⇔ x + 5y ≤ 20
⇔ x + 5y – 20 ≤ 0 (1)
Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút nên ta có: x ≥ 5 ⇔ x – 5 ≥ 0 (2).
Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút nên ta có: y ≤ 4 ⇔ y – 4 ≤ 0 (3)
Đồng thời do x, y là thời lượng quảng cáo nên: x ≥ 0 (4), y ≥ 0 (5).
Hiệu quả chung của quảng cáo là: x + 6y.
Xét bất phương trình (1) và điểm (0; 0). Ta có:
Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x + 5y – 20 = 0 và 0 + 5.0 – 20 ≤ 0 nên miền nghiệm của bất phương trình (1) là nửa mặt phẳng có kể bờ x + 5y – 20 = 0 và chứa điểm (0; 0).
Xét bất phương trình (2) và điểm (0; 0) ta có:
Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x – 5 = 0 và 0 – 5 = –5 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng có kể bờ x – 5 = 0 và không chứa điểm (0; 0).
Xét bất phương trình (3) và điểm (0; 0) ta có:
Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng y – 4 = 0 và 0 – 4 = – 4 ≤ 0 nên miền nghiệm của bất phương trình (3) là nửa mặt phẳng có kể bờ y – 4 = 0 và chứa điểm (0; 0).
Xét bất phương trình (4) và điểm A(1; 2) có:
Điểm A không nằm trên đường thẳng x = 0 và 1 ≥ 0, do đó, miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ x = 0 và chứa điểm A(1; 2).
Xét bất phương trình (5) và điểm B(0; 1) có:
Điểm B không nằm trên đường thẳng y = 0 và 1 ≥ 0, do đó, miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ y = 0 và chứa điểm B(0; 1).
Kết hợp miền nghiệm của các bất phương trình (1), (2), (3), (4), (5) ta được miền nghiệm thỏa mãn màu trắng trong hình vẽ.
Để quảng cáo đạt hiệu quả nhất thì M(x; y) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm (5; 3), (5; 0), (20; 0). Ta có: M(5; 3) = 23, M(5; 0) = 5, M(20; 0) = 20.
Do đó, giá trị lớn nhất của M(x; y) bằng 23 tại (5; 3).
Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.