Lý thuyết Xác suất của biến cố đối

Phương pháp tính xác suất của biến cố E theo định nghĩa cổ điển bằng cách sử dụng biến cố đối:

− Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu là n(Ω).

− Bước 2. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố E là $n\left(\overline{E}\right)$

− Bước 3. Tính xác suất của biến cố E theo công thức:

$P\left(E\right)=1-P\left(\overline{E}\right)=1-\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$

Chú ý:

⦁ Ta sử dụng biến cố đối khi việc tính trực tiếp số lượng phần tử của biến cố E quá dài/ chia quá nhiều trường hợp, thường gặp trong bài toán có câu hỏi “có ít nhất một …”.

⦁ Để tính số phần tử của không gian mẫu và biến cố đối $\overline{E}$ trong Bước 1, Bước 2, ta có thể sử dụng phương pháp tổ hợp hoặc sơ đồ hình cây.

Ví dụ 1. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Ngữ văn, 6 quyển sách Tiếng Anh. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách toán.

Hướng dẫn giải:

Tổng số sách trên giá: 4 + 5 + 6 = 15 (quyển).

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển từ 15 quyển sách trên giá. Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_{15}^3$.

Gọi A là biến cố “Quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán”.

$\overline{A}$: “Trong 3 quyển sách lấy ra không có quyển sách Toán nào”.

Suy ra, $n\left(A\right)=C_{11}^3$.

Vậy xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{C_{11}^3}{C_{15}^3}=\frac{58}{91}$.

Ví dụ 2. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; 5;…8; 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Có bốn thẻ chẵn {2; 4; 6; 8} và 5 thẻ lẻ {1; 3; 5; 7; 9}.

Rút ngẫu nhiên hai thẻ, số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_9^2=56$

Gọi A là biến cố “Tích nhận được là số chẵn”.

 $\overline{A}$: “Tích nhận được là số lẻ”

Tích là số lẻ nếu 2 số đều là số lẻ. Số phần tử của $\overline{A}$ là: $n\left(\overline{A}\right)=C_5^2=10$.

Xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=1-\left(\overline{A}\right)=1-\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=1—\frac{10}{36}=\frac{13}{18}$.