Lý thuyết Xác định hợp và giao của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp:

Cho hai tập hợp A và B.

Tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∪ B.

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Để xác định hợp của hai tập hợp A và B, ta làm như sau:

Liệt kê các phần tử của hai tập hợp, những phần tử thuộc tập hợp này hoặc tập hợp kia là hợp của hai tập hợp đó.

* Đối với các tập hợp được cho dưới dạng một đoạn, khoảng, nửa khoảng, ta có thể xác định hợp của hai tập hợp như sau:

Cách 1:

+ Bước 1. Biểu diễn A, Biểu diễn B trên cùng 1 trục số. Lưu ý không gạch chéo mà tô đậm miền của A và miền của B.

+ Bước 2. Lấy phần tô đậm.

+ Bước 3. Kiểm tra các điểm đặc biệt để tránh nhầm lẫn.

Cách 2:

+ Biểu diễn tập hợp A trên trục số, gạch chéo phần không thuộc A.

+ Làm tương tự đối với tập hợp B trên một trục số khác.

+ Phần không gạch chéo trên hình là A ∪ B.

Giao của hai tập hợp:

Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B được gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∩ B.

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

Để xác định giao của hai tập hợp A và B, ta làm như sau:

Liệt kê các phần tử của hai tập hợp, những phần tử thuộc cả hai tập hợp là giao của hai tập hợp đó.

* Đối với các tập hợp được cho dưới dạng một đoạn, khoảng, nửa khoảng, ta có thể xác định giao của hai tập hợp như sau:

+ Bước 1. Biểu diễn A, Biểu diễn B trên cùng 1 trục số.

+ Bước 2. Lấy phần không bị gạch chéo.

+ Bước 3. Kiểm tra các điểm đặc biệt để tránh nhầm lẫn.

Nhận xét:

ü Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

ü Nếu A và B không có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, thì n(A∪ B) = n(A) + n(B).

Ví dụ 1: Xác định tập hợp (0; 3) ∪ (–3; 2).

Hướng dẫn giải:

Xét tập hợp A = (0; 3)

+ Ta dùng kí hiệu khoảng để biểu diễn tập hợp trên.

+ Ta chỉ nhận các giá trị từ 0 đến 3 và gạch bỏ phần bé hơn 0 và lớn hơn 3.

Tập hợp A được biểu diễn trên trục số như sau:

Tương tự, ta biểu diễn tập hợp B trên trục số như sau:

Do đó, phần hợp của hai tập hợp A và B là tất cả những phần không gạch chéo trong hai hình vẽ trên:

Vậy (0; 3) ∪ (–3; 2) = (–3; 3).

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℤ |– 2 < x < 3} và B = {x ∈ ℤ | 1 ≤ x ≤ 3}.

Xác định tập hợp A ∩ B.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+ Tập hợp A = {x ∈ ℤ |– 2 < x < 3} là tập hợp các số nguyên lớn hơn – 2 và nhỏ hơn 3. Do đó ta viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phần tử như sau:

A = {–1; 0; 1; 2}.

+ Tập hợp B = {x ∈ ℤ | 1 ≤ x ≤ 3}là tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 3. Do đó ta viết tập hợp B dưới dạng liệt kê các phần tử như sau:

B = {1; 2; 3}.

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B nên ta có: A ∩ B = {1; 2}.