Lý thuyết Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x), tập giá trị D của x chính là tập xác định của hàm số.

Nếu một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

- Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

- Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc tập xác định) gọi là tập giá trị của hàm số.

* Một số biểu thức thường gặp:

- Biểu thức chứa căn: Biểu thức dạng $\sqrt{f\left(x\right)}$ có nghĩa khi f(x) ≥ 0.

- Biểu thức chứa phân thức: Biểu thức dạng $\frac{a}{\sqrt{f\left(x\right)}}$,$\frac{\sqrt{g\left(x\right)}}{\sqrt{f}\left(x\right)}$ (a là số thực bất kì) có nghĩa khi f(x) ≠ 0 (mẫu thức khác 0).

- Nếu biếu thức có chứa phân thức và căn thức ở mẫu, chẳng hạn, $\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}$ thì biểu thức này có nghĩa khi f(x) > 0.

Ví dụ 1. Hàm số v = f(t) được cho bởi bảng như sau:

a) Tìm tập xác định của hàm số này.

b) Tìm tập giá trị của hàm số này.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số v = f(t) ta có: t là biến số, v là hàm số của t.

a) Tập xác định của hàm số là tập giá trị của t nên ta có: D = {0,5; 1; 1,2; 1,8; 2,5}.

b) Tập giá trị của hàm số là tập giá trị của v nên ta có: T = {1,5; 3; 0; 5,4; 7,5}.

Ví dụ 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x+7}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Tìm tập giá trị của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số: $f\left(x\right)=\sqrt{2x+7}$.

a)

Tập xác định của hàm số là tập giá trị của x sao cho $f\left(x\right)=\sqrt{2x+7}$ có nghĩa.

Điều kiện xác định của hàm số là:

2x + 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ –7 ⇔$x\ge \frac{-7}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\left[-\frac{7}{2};+\infty \right]$.

b)

Với mọi giá trị x thuộc $D=\left[-\frac{7}{2};+\infty \right]$ , ta thấy: $f\left(x\right)=\sqrt{2x+7}\ge 0$ ≥ 0

Do đó, tập giá trị của hàm số $f\left(x\right)\sqrt{2x+7}$ là T = [0; +∞).