Lý thuyết Phát biểu định lý, định lý đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ
– Trong toán học, định lý là mệnh đề đúng. Các định lý trong toán học thường có dạng P ⇒ Q.
– Định lý đảo là mệnh đề đảo, do đó ta xác định định lý đảo giống như phương pháp xác định mệnh đề đảo.
– Cho định lý P ⇒ Q.
Khi đó P là giả thiết, Q là kết luận.
Hoặc ta có thể phát biểu là:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
+ Điều kiện đủ để có Q là P.
+ Điều kiện cần để có P là Q.
Ví dụ 1: Cho định lý sau: “Nếu một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn thì tổng hai góc đối diện của nó là 180°”.
a) Phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Phát biểu định lý đảo của định lý trên.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
P: “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn”
Q: “Tổng hai góc đối diện của nó là 180°”
a) Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:
+ Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là điều kiện đủ để tổng hai góc đối diện của nó là 180°.
+ Tổng hai góc đối diện của một tứ giác là 180° là điều kiện cần để tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Định lý đảo Q ⇒ P của định lý trên được phát biểu như sau:
“Nếu tổng hai góc đối diện của một tứ giác là 180° thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn”.
Ví dụ 2: Cho mệnh đề sau: “Tứ giác là hình bình hành thì tứ giác đó có các cặp cạnh đối bằng nhau”.
Mệnh đề trên có phải là định lý không? Nếu có, hãy phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
Hướng dẫn giải:
Ta thấy mệnh đề trên đúng do đối với hình bình hành ta luôn có hai cặp cạnh đối bằng nhau.
Vì vậy mệnh đề trên là định lý.
Ta có:
P: “Tứ giác là hình bình hành”.
Q: “Tứ giác đó có các cặp cạnh đối bằng nhau”.
Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:
+ Tứ giác là hình bình hành là điều kiện đủ để tứ giác đó có các cặp cạnh đối bằng nhau.
+ Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là điều kiện cần để tứ giác đó là hình bình hành.