Lý thuyết Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác

Áp dụng định lí sin, công thức tính diện tích tam giác, ta suy ra công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác và S là diện tích tam giác.

+) Theo định lí sin ta có:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Từ đó suy ra: R =$\frac{a}{2\sin A}$ = $\frac{b}{2\sin B}$= $\frac{c}{2\sin C}$ .

+) Ta có: $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}$   .

+) S = pr $\Rightarrow r=\frac{S}{p}$  với $p=\frac{a+b+c}{2}$ .

+) Ngoài ra, để tính diện tích S, ta sử dụng các công thức:

 $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$với h_a; h_b; h_c lần lượt là các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}acsinC \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c} \end{gathered}$$ (công thức Hê – rông).

Ví dụ 1. Tam giác ABC có BC = 8 và . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ta áp dụng công thức $\frac{a}{\sin A}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{8}{2\sin 30°}=\frac{8}{2.{\displaystyle \frac{1}{2}}}=8$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 8.

Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\widehat{BAC}=60°$ . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

Hướng dẫn giải: