Lý thuyết Tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và xác định độ chính xác của một số gần đúng

Dựa vào định nghĩa để ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối và xác định độ chính xác của một số gần đúng.

a. Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ thì ∆_a = | $\overline{a}$ – a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Trên thực tế ta thường không biết số đúng $\overline{a}$ nên không thể tính được chính xác ∆_a. Thay vào đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆_a không vượt quá mức d > 0 cho trước, tức là:

∆_a = | $\overline{a}$– a| ≤ d hay a – d ≤ $\overline{a}$ ≤ a + d

Khi đó, ta nói a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d và quy ước viết gọn là $\overline{a}$ = a ± d.

b. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ_a, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối ∆_a và |a|, tức là δ_a = $\frac{∆a}{\left|a\right|}$.

Nếu $\overline{a}$ = a ± d thì ∆_a ≤ d. Do đó δ_a ≤ $\frac{d}{\left|a\right|}$. Nếu δ_a hay $\frac{d}{\left|a\right|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

Ví dụ 1: Khi tính diện tích hình tròn bán kính R = 5 cm, giả sử với π = 3,14 tính diện tích hình tròn đó và ước lượng độ chính xác của diện tích tính được là bao nhiêu? Biết 3,14 < π < 3,15.

Hướng dẫn giải:

Diện tích đúng của hình tròn là: $\overline{S}$ = π.5² = 25π.

Ta có diện tích hình tròn với π = 3,14 là: S = 3,14.5² = 78,5 (cm²).

Ta có:

3,14 < π < 3,15 ⇒ 3,14 . 25 < 25π < 3,15 . 25 ⇒ 78,5 < $\overline{S}$ < 78,75

Do đó:

$\overline{S}$ – S = $\overline{S}$ – 78,5 < 78,75 – 78,5 < 0,25

⇒ ∆_S = |$\overline{S}$ – S| < 0,25.

Vậy nếu ta lấy π = 3,14 thì diện tích hình tròn S = 78,5 cm² với độ chính xác d = 0,25.

Nói cách khác, diện tích của hình tròn là 78,5 ± 0,25 (cm²).

Ví dụ 2: Một cạnh của một tam giác được đo với chiều dài là 15 ± 0,1 cm. Ước lượng sai số tương đối trong phép đo trên.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a = 15 cm và d = 0,1 cm.

Do đó, sai số tương đối của phép đo trên là:${\delta }_a\le \frac{d}{a}=\frac{0,1}{15}$≈ 0,67%.

Vậy sai số tương đối trong phép đo trên không vượt quá 0,67%.